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Aufgaben

Aufgaben zur Cramerschen Regel

Artikel zum Nachlesen: Cramersche Regel

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Cramersche Regel erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und Beispielen und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen . Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für eigene Aufgaben verfügbar.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Aufgabe 1 von 3

Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem mit Koeffizienten aus $ \Q$:

\[\begin{align*}
\begin{alignedat}{3}
-x_1 &\ + &\ 2x_2 &\ = &\ 5 \\[0.5em]
2x_1 &\ - &\ x_2 &\ = &\ 2
\end{alignedat}
\end{align*}\]

Löse das lineare Gleichungssystem mithilfe der Cramerschen Regel.

Aufgabengenerator

Aufgabengenerator

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Eigene Aufgabe

Eigene Aufgabe verwenden

Gib zunächst die Anzahl der Gleichungen bzw. der Variablen und den Zahlenbereich an, aus dem die Koeffizienten stammen sollen.

Gib die Koeffizientenmatrix $A$ sowie den Lösungsvektor $b$ des linearen Gleichungssystems ein, das mit der Cramerschen Regel gelöst werden soll.

\[A=\]
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
\[b=\]
$ 0$
$ 0$
$ 0$

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung

Zunächst wird die Koeffizientenmatrix $A$ und der Lösungsvektor $b$ des linearen Gleichungssystems aufgestellt. Es gilt:

\[A = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}, \ b = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix}\]

Mithilfe der Determinante der Matrix $A$ wird anschließend geprüft, ob die Cramersche Regel angewendet werden kann.

Die Berechnung von $\det(A)$ liefert $\det(A) = -3$.

Die Determinante kann direkt berechnet werden:

\[\begin{align*} \det(A) &= \left(-1\right) \cdot \left(-1\right) - 2 \cdot 2\\[0.5em] &= -3 \end{align*}\]

Da $\det(A) = -3 \neq 0$ gilt, kann das lineare Gleichungssystem mithilfe der Cramerschen Regel gelöst werden.

  • Zum Bestimmen der Lösung $ x_1$ muss zunächst die Matrix $ A_1$ erstellt werden, indem die $ 1$-te Spalte der Matrix $A$ durch den Lösungsvektor $b$ ersetzt wird.

    \[A_1 = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}\]
    Die Berechnung von $\det(A_1)$ liefert $\det(A_1) = -9$.

    Für $ x_1$ ergibt sich somit die folgende Lösung:

    \[x_1 = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{-9}{-3} = 3\]

  • Zum Bestimmen der Lösung $ x_2$ muss zunächst die Matrix $ A_2$ erstellt werden, indem die $ 2$-te Spalte der Matrix $A$ durch den Lösungsvektor $b$ ersetzt wird.

    \[A_2 = \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}\]
    Die Berechnung von $\det(A_2)$ liefert $\det(A_2) = -12$.

    Für $ x_2$ ergibt sich somit die folgende Lösung:

    \[x_2 = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{-12}{-3} = 4\]

Als eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems ergibt sich somit insgesamt:

\[\begin{align*}x_1 &= 3 \\[0.5em]
x_2 &= 4
\end{align*}\]
Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen

Entscheide zunächst, ob das lineare Gleichungssystem mithilfe der Cramerschen Regel gelöst oder nicht gelöst werden kann.