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Aufgaben

Cramersche Regel – Interaktiver Aufgabengenerator

Artikel zum Nachlesen: Cramersche Regel

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Cramersche Regel erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Die ausgewählten Beispiele ermöglichen es dir, einige Generator-Konfigurationen und die verfügbare Unterstützung beim Lösen der Aufgaben unverbindlich und in aller Ruhe kennenzulernen.

Aufgabe 1 von 3

Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem mit Koeffizienten aus $ \Q$:

\[\begin{alignedat}{3}
-x_1 &\ + &\ 2x_2 &\ = &\ 5 \\[0.5em]
2x_1 &\ - &\ x_2 &\ = &\ 2
\end{alignedat}\]

Löse das lineare Gleichungssystem mithilfe der Cramerschen Regel.

Aufgabengenerator

Aufgabengenerator

Der Aufgabengenerator ermöglicht es dir, beliebig viele, an deine individuellen Bedürfnisse angepasste Aufgaben zu generieren, um dich perfekt mit dem Thema vertraut zu machen.

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Konfiguriere den Aufgabengenerator nach deinen Wünschen – von einfachen Beispielen bis zu anspruchsvollen Herausforderungen.

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Gib zunächst die Anzahl der Gleichungen bzw. der Variablen und den Zahlenbereich an, aus dem die Koeffizienten stammen sollen.

Gib die Koeffizientenmatrix $A$ sowie den Lösungsvektor $b$ des linearen Gleichungssystems ein, das mit der Cramerschen Regel gelöst werden soll.

\[A=\]
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
\[b=\]
$ 0$
$ 0$
$ 0$

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung

Zunächst wird die Koeffizientenmatrix $A$ und der Lösungsvektor $b$ des linearen Gleichungssystems aufgestellt. Es gilt:

\[A = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}, \ b = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix}\]

Mithilfe der Determinante der Matrix $A$ wird anschließend geprüft, ob die Cramersche Regel angewendet werden kann.

Die Berechnung von $\det(A)$ liefert $\det(A) = -3$.

Die Determinante kann direkt berechnet werden:

\[\begin{align*} \det(A) &= \left(-1\right) \cdot \left(-1\right) - 2 \cdot 2\\[0.5em] &= -3 \end{align*}\]

Da $\det(A) = -3 \neq 0$ gilt, kann das lineare Gleichungssystem mithilfe der Cramerschen Regel gelöst werden.

  • Zum Bestimmen der Lösung $ x_1$ muss zunächst die Matrix $ A_1$ erstellt werden, indem die $ 1$-te Spalte der Matrix $A$ durch den Lösungsvektor $b$ ersetzt wird.

    \[A_1 = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}\]
    Die Berechnung von $\det(A_1)$ liefert $\det(A_1) = -9$.

    Die Determinante kann direkt berechnet werden:

    \[\begin{align*} \det(A_1) &= 5 \cdot \left(-1\right) - 2 \cdot 2\\[0.5em] &= -9 \end{align*}\]

    Für $ x_1$ ergibt sich somit die folgende Lösung:

    \[x_1 = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{-9}{-3} = 3\]

  • Zum Bestimmen der Lösung $ x_2$ muss zunächst die Matrix $ A_2$ erstellt werden, indem die $ 2$-te Spalte der Matrix $A$ durch den Lösungsvektor $b$ ersetzt wird.

    \[A_2 = \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}\]
    Die Berechnung von $\det(A_2)$ liefert $\det(A_2) = -12$.

    Die Determinante kann direkt berechnet werden:

    \[\begin{align*} \det(A_2) &= \left(-1\right) \cdot 2 - 5 \cdot 2\\[0.5em] &= -12 \end{align*}\]

    Für $ x_2$ ergibt sich somit die folgende Lösung:

    \[x_2 = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{-12}{-3} = 4\]

Als eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems ergibt sich somit insgesamt:

\[\begin{align*}x_1 &= 3 \\[0.5em]
x_2 &= 4
\end{align*}\]
Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen

Entscheide zunächst, ob das lineare Gleichungssystem mithilfe der Cramerschen Regel gelöst oder nicht gelöst werden kann.