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Aufgaben

Eulersche Phi-Funktion – Interaktiver Aufgabengenerator

Artikel zum Nachlesen: Eulersche Phi-Funktion

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Eulersche Phi-Funktion erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Die ausgewählten Beispiele ermöglichen es dir, einige Generator-Konfigurationen und die verfügbare Unterstützung beim Lösen der Aufgaben unverbindlich und in aller Ruhe kennenzulernen.

Aufgabe 1 von 3

Berechne den Wert $\varphi(N)$ der eulerschen $\varphi$-Funktion für die folgende Zahl $N$.

\[N = 23\]

Aufgabe 2 von 3

Berechne den Wert $\varphi(N)$ der eulerschen $\varphi$-Funktion für die folgende Zahl $N$.

\[N = 42\]

Aufgabe 3 von 3

Berechne den Wert $\varphi(N)$ der eulerschen $\varphi$-Funktion für die folgende Zahl $N$.

\[N = 194040\]
Aufgabengenerator

Aufgabengenerator

Der Aufgabengenerator ermöglicht es dir, beliebig viele, an deine individuellen Bedürfnisse angepasste Aufgaben zu generieren, um dich perfekt mit dem Thema vertraut zu machen.

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Gib die Zahl $N$ ein, für die der Wert $\varphi(N)$ der eulerschen $\varphi$-Funktion berechnet werden soll.

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung: Beispielaufgabe 1 von 3

Zur Berechnung des Werts $\varphi(23)$ muss zunächst die Primfaktorzerlegung für die Zahl $ 23$ bestimmt werden.

Zur Bestimmung der Primfaktorzerlegung für die Zahl $ 23$ wird diese auf Teilbarkeit durch alle Primzahlen bis zur abgerundeten Wurzel $\lfloor\sqrt{23}\rfloor = 4$ getestet. Wird ein Primteiler gefunden, so wird dieser durch Division abgespalten und die Suche für den Quotienten fortgesetzt. Die in einem Schritt abgespaltenen Primfaktoren sowie der verbleibende Quotient sind jeweils farblich hervorgehoben.

\[\begin{align*}
23 &= {\color{YellowGreen} 23}
\end{align*}\]

Da es sich bei der Zahl $ 23$ um eine Primzahl handelt, kann der Wert der eulerschen $\varphi$-Funktion direkt angegeben werden. Es gilt:

\[\begin{align*}
\varphi(23) &= 23 - 1 \\[0.5em]
&= 22
\end{align*}\]

Musterlösung: Beispielaufgabe 2 von 3

Zur Berechnung des Werts $\varphi(42)$ muss zunächst die Primfaktorzerlegung für die Zahl $ 42$ bestimmt werden.

Zur Bestimmung der Primfaktorzerlegung für die Zahl $ 42$ wird diese auf Teilbarkeit durch alle Primzahlen bis zur abgerundeten Wurzel $\lfloor\sqrt{42}\rfloor = 6$ getestet. Wird ein Primteiler gefunden, so wird dieser durch Division abgespalten und die Suche für den Quotienten fortgesetzt. Die in einem Schritt abgespaltenen Primfaktoren sowie der verbleibende Quotient sind jeweils farblich hervorgehoben.

\[\begin{align*}
42 &= {\color{YellowGreen} 2} \cdot {\color{CornflowerBlue} 21} \\[0.5em]
&= 2 \cdot {\color{YellowGreen} 3} \cdot {\color{CornflowerBlue} 7} \\[0.5em]
&= 2 \cdot 3 \cdot {\color{YellowGreen} 7}
\end{align*}\]

Mithilfe der Primfaktorzerlegung der Zahl $N=42$ kann der Wert $\varphi(N)$ der eulerschen $\varphi$-Funktion berechnet werden.

\[\begin{align*}
\varphi(42) &= \varphi\bigl(2 \cdot 3 \cdot 7\bigr) \\[0.5em]
&= \varphi\bigl(2\bigr) \cdot \varphi\bigl(3\bigr) \cdot \varphi\bigl(7\bigr) \\[0.5em]
&= {\underbrace{\bigl(2 - 1\bigr)}_{1}} \cdot {\underbrace{\bigl(3 - 1\bigr)}_{2}} \cdot {\underbrace{\bigl(7 - 1\bigr)}_{6}} \\[0.5em]
&= 12
\end{align*}\]

Musterlösung: Beispielaufgabe 3 von 3

Zur Berechnung des Werts $\varphi(194040)$ muss zunächst die Primfaktorzerlegung für die Zahl $ 194040$ bestimmt werden.

Zur Bestimmung der Primfaktorzerlegung für die Zahl $ 194040$ wird diese auf Teilbarkeit durch alle Primzahlen bis zur abgerundeten Wurzel $\lfloor\sqrt{194040}\rfloor = 440$ getestet. Wird ein Primteiler gefunden, so wird dieser durch Division abgespalten und die Suche für den Quotienten fortgesetzt. Die in einem Schritt abgespaltenen Primfaktoren sowie der verbleibende Quotient sind jeweils farblich hervorgehoben.

\[\begin{align*}
194040 &= {\color{YellowGreen} 2} \cdot {\color{CornflowerBlue} 97020} \\[0.5em]
&= 2 \cdot {\color{YellowGreen} 2} \cdot {\color{CornflowerBlue} 48510} \\[0.5em]
&= {\underbrace{2 \cdot 2 \cdot {\color{YellowGreen} 2}}_{{2}^{3}}} \cdot {\color{CornflowerBlue} 24255} \\[0.5em]
&= {2}^{3} \cdot {\color{YellowGreen} 3} \cdot {\color{CornflowerBlue} 8085} \\[0.5em]
&= {2}^{3} \cdot {\underbrace{3 \cdot {\color{YellowGreen} 3}}_{{3}^{2}}} \cdot {\color{CornflowerBlue} 2695} \\[0.5em]
&= {2}^{3} \cdot {3}^{2} \cdot {\color{YellowGreen} 5} \cdot {\color{CornflowerBlue} 539} \\[0.5em]
&= {2}^{3} \cdot {3}^{2} \cdot 5 \cdot {\color{YellowGreen} 7} \cdot {\color{CornflowerBlue} 77} \\[0.5em]
&= {2}^{3} \cdot {3}^{2} \cdot 5 \cdot {\underbrace{7 \cdot {\color{YellowGreen} 7}}_{{7}^{2}}} \cdot {\color{CornflowerBlue} 11} \\[0.5em]
&= {2}^{3} \cdot {3}^{2} \cdot 5 \cdot {7}^{2} \cdot {\color{YellowGreen} 11}
\end{align*}\]

Mithilfe der Primfaktorzerlegung der Zahl $N=194040$ kann der Wert $\varphi(N)$ der eulerschen $\varphi$-Funktion berechnet werden.

\[\begin{align*}
\varphi(194040) &= \varphi\bigl({2}^{3} \cdot {3}^{2} \cdot 5 \cdot {7}^{2} \cdot 11\bigr) \\[0.5em]
&= \varphi\bigl({2}^{3}\bigr) \cdot \varphi\bigl({3}^{2}\bigr) \cdot \varphi\bigl(5\bigr) \cdot \varphi\bigl({7}^{2}\bigr) \cdot \varphi\bigl(11\bigr) \\[0.5em]
&= {\underbrace{\bigl({2}^{3} - {2}^{2}\bigr)}_{4}} \cdot {\underbrace{\bigl({3}^{2} - 3\bigr)}_{6}} \cdot {\underbrace{\bigl(5 - 1\bigr)}_{4}} \cdot {\underbrace{\bigl({7}^{2} - 7\bigr)}_{42}} \cdot {\underbrace{\bigl(11 - 1\bigr)}_{10}} \\[0.5em]
&= 40320
\end{align*}\]
Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 1 von 3

Gib den berechneten Wert $\varphi(23)$ der Eulerschen $\varphi$-Funktion ein.

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 2 von 3

Gib den berechneten Wert $\varphi(42)$ der Eulerschen $\varphi$-Funktion ein.

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 3 von 3

Gib den berechneten Wert $\varphi(194040)$ der Eulerschen $\varphi$-Funktion ein.