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Aufgaben

Größter gemeinsamer Teiler (ggT) – Interaktiver Aufgabengenerator mit Musterlösungen

Artikel zum Nachlesen: Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Größter gemeinsamer Teiler (ggT) erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Übungsaufgaben und Beispielen. Er unterstützt dich dabei, diese zu lösen und das Thema ausgiebig zu üben. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Musterlösung und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Aufgabe 1 von 1

Berechne den größten gemeinsamen Teiler von $a$ und $b$ mithilfe der Primfaktorzerlegungen von $a$ und $b$.

\[\begin{align*}
a &= 3960 \\[0.5em]
b &= 9450
\end{align*}\]
Aufgabengenerator

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Gib die Zahlen $a$ und $b$ ein, für die der größte gemeinsame Teiler berechnet werden soll.

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung

Zum Berechnen des größten gemeinsamen Teilers von $ 3960$ und $ 9450$ müssen zunächst die Primfaktorzerlegungen der beiden Zahlen bestimmt werden.

Bestimmen der Primfaktorzerlegung von $ 3960$

Zur Bestimmung der Primfaktorzerlegung für die Zahl $ 3960$ wird diese auf Teilbarkeit durch alle Primzahlen bis zur abgerundeten Wurzel $\lfloor\sqrt{3960}\rfloor = 62$ getestet. Wird ein Primteiler gefunden, so wird dieser durch Division abgespalten und die Suche für den Quotienten fortgesetzt. Die in einem Schritt abgespaltenen Primfaktoren sowie der verbleibende Quotient sind jeweils farblich hervorgehoben.

\[\begin{align*}
3960 &= {\color{YellowGreen} 2} \cdot {\color{CornflowerBlue} 1980} \\[0.5em]
&= 2 \cdot {\color{YellowGreen} 2} \cdot {\color{CornflowerBlue} 990} \\[0.5em]
&= {\underbrace{2 \cdot 2 \cdot {\color{YellowGreen} 2}}_{{2}^{3}}} \cdot {\color{CornflowerBlue} 495} \\[0.5em]
&= {2}^{3} \cdot {\color{YellowGreen} 3} \cdot {\color{CornflowerBlue} 165} \\[0.5em]
&= {2}^{3} \cdot {\underbrace{3 \cdot {\color{YellowGreen} 3}}_{{3}^{2}}} \cdot {\color{CornflowerBlue} 55} \\[0.5em]
&= {2}^{3} \cdot {3}^{2} \cdot {\color{YellowGreen} 5} \cdot {\color{CornflowerBlue} 11} \\[0.5em]
&= {2}^{3} \cdot {3}^{2} \cdot 5 \cdot {\color{YellowGreen} 11}
\end{align*}\]
Bestimmen der Primfaktorzerlegung von $ 9450$

Zur Bestimmung der Primfaktorzerlegung für die Zahl $ 9450$ wird diese auf Teilbarkeit durch alle Primzahlen bis zur abgerundeten Wurzel $\lfloor\sqrt{9450}\rfloor = 97$ getestet. Wird ein Primteiler gefunden, so wird dieser durch Division abgespalten und die Suche für den Quotienten fortgesetzt. Die in einem Schritt abgespaltenen Primfaktoren sowie der verbleibende Quotient sind jeweils farblich hervorgehoben.

\[\begin{align*}
9450 &= {\color{YellowGreen} 2} \cdot {\color{CornflowerBlue} 4725} \\[0.5em]
&= 2 \cdot {\color{YellowGreen} 3} \cdot {\color{CornflowerBlue} 1575} \\[0.5em]
&= 2 \cdot 3 \cdot {\color{YellowGreen} 3} \cdot {\color{CornflowerBlue} 525} \\[0.5em]
&= 2 \cdot {\underbrace{3 \cdot 3 \cdot {\color{YellowGreen} 3}}_{{3}^{3}}} \cdot {\color{CornflowerBlue} 175} \\[0.5em]
&= 2 \cdot {3}^{3} \cdot {\color{YellowGreen} 5} \cdot {\color{CornflowerBlue} 35} \\[0.5em]
&= 2 \cdot {3}^{3} \cdot {\underbrace{5 \cdot {\color{YellowGreen} 5}}_{{5}^{2}}} \cdot {\color{CornflowerBlue} 7} \\[0.5em]
&= 2 \cdot {3}^{3} \cdot {5}^{2} \cdot {\color{YellowGreen} 7}
\end{align*}\]

Für die Werte $ 3960$ und $ 9450$ ergeben sich die folgenden Primfaktorzerlegungen:

\[\begin{align*}
3960 &= {2}^{\color{Orange}3} \cdot {3}^{\color{Orange}2} \cdot {5}^{\color{Orange}1} \cdot {11}^{\color{Orange}1} \\[0.5em]
9450 &= {2}^{\color{CornflowerBlue}1} \cdot {3}^{\color{CornflowerBlue}3} \cdot {5}^{\color{CornflowerBlue}2} \cdot {7}^{\color{CornflowerBlue}1}
\end{align*}\]

Anschließend werden diejenigen Primzahlen herausgesucht, die in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommen:

\[2, 3, 5\]

Der gesuchte größte gemeinsame Teiler kann nun dadurch berechnet werden, dass die jeweils kleineren Potenzen aller Primfaktoren, die in beiden Zerlegungen vorkommen, multipliziert werden.

\[\begin{align*}
\ggT(3960, 9450) &= {2}^{\color{CornflowerBlue}1} \cdot {3}^{\color{Orange}2} \cdot {5}^{\color{Orange}1} \\[0.5em]
&= 90
\end{align*}\]
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Gib den berechneten größten gemeinsamen Teiler ein.