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Größter gemeinsamer Teiler (ggT) – Interaktiver Aufgabengenerator

Artikel zum Nachlesen: Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Größter gemeinsamer Teiler (ggT) erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Die ausgewählten Beispiele ermöglichen es dir, einige Generator-Konfigurationen und die verfügbare Unterstützung beim Lösen der Aufgaben unverbindlich und in aller Ruhe kennenzulernen.

Aufgabe 1 von 1

Berechne den größten gemeinsamen Teiler von $a$ und $b$ mithilfe der Primfaktorzerlegungen von $a$ und $b$.

\begin{align*}a &= 3960 \\[0.5em]b &= 9450\end{align*}

Aufgabengenerator

Der Aufgabengenerator ermöglicht es dir, beliebig viele, an deine individuellen Bedürfnisse angepasste Aufgaben zu generieren, um dich perfekt mit dem Thema vertraut zu machen.

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Konfiguration anpassen

Konfiguriere den Aufgabengenerator nach deinen Wünschen – von einfachen Beispielen bis zu anspruchsvollen Herausforderungen.

Größe der Primfaktoren:

–

Anzahl an Faktoren im ggT:

–

Hier könnte deine generierte Aufgabe stehen!

Eigene Aufgabe

Eigene Aufgabe verwenden

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Gib die Zahlen $a$ und $b$ ein, für die der größte gemeinsame Teiler berechnet werden soll.

\[a=\]

\[b=\]

Aufgabe lösen

Musterlösung

Zum Berechnen des größten gemeinsamen Teilers von $$ 3960$$ und $$ 9450$$ müssen zunächst die Primfaktorzerlegungen der beiden Zahlen bestimmt werden.

Bestimmen der Primfaktorzerlegung von

$ 3960$

Zur Bestimmung der Primfaktorzerlegung für die Zahl $$ 3960$$ wird diese auf Teilbarkeit durch alle Primzahlen bis zur abgerundeten Wurzel $\lfloor\sqrt{3960}\rfloor = 62$ getestet. Wird ein Primteiler gefunden, so wird dieser durch Division abgespalten und die Suche für den Quotienten fortgesetzt. Die in einem Schritt abgespaltenen Primfaktoren sowie der verbleibende Quotient sind jeweils farblich hervorgehoben.

\begin{align*} 3960 &= {\color{YellowGreen} 2} \cdot {\color{CornflowerBlue} 1980} \\[0.5em] &= 2 \cdot {\color{YellowGreen} 2} \cdot {\color{CornflowerBlue} 990} \\[0.5em] &= {\underbrace{2 \cdot 2 \cdot {\color{YellowGreen} 2}}_{{2}^{3}}} \cdot {\color{CornflowerBlue} 495} \\[0.5em] &= {2}^{3} \cdot {\color{YellowGreen} 3} \cdot {\color{CornflowerBlue} 165} \\[0.5em] &= {2}^{3} \cdot {\underbrace{3 \cdot {\color{YellowGreen} 3}}_{{3}^{2}}} \cdot {\color{CornflowerBlue} 55} \\[0.5em] &= {2}^{3} \cdot {3}^{2} \cdot {\color{YellowGreen} 5} \cdot {\color{CornflowerBlue} 11} \\[0.5em] &= {2}^{3} \cdot {3}^{2} \cdot 5 \cdot {\color{YellowGreen} 11}\end{align*}

Bestimmen der Primfaktorzerlegung von

$ 9450$

Zur Bestimmung der Primfaktorzerlegung für die Zahl $$ 9450$$ wird diese auf Teilbarkeit durch alle Primzahlen bis zur abgerundeten Wurzel $\lfloor\sqrt{9450}\rfloor = 97$ getestet. Wird ein Primteiler gefunden, so wird dieser durch Division abgespalten und die Suche für den Quotienten fortgesetzt. Die in einem Schritt abgespaltenen Primfaktoren sowie der verbleibende Quotient sind jeweils farblich hervorgehoben.

\begin{align*} 9450 &= {\color{YellowGreen} 2} \cdot {\color{CornflowerBlue} 4725} \\[0.5em] &= 2 \cdot {\color{YellowGreen} 3} \cdot {\color{CornflowerBlue} 1575} \\[0.5em] &= 2 \cdot 3 \cdot {\color{YellowGreen} 3} \cdot {\color{CornflowerBlue} 525} \\[0.5em] &= 2 \cdot {\underbrace{3 \cdot 3 \cdot {\color{YellowGreen} 3}}_{{3}^{3}}} \cdot {\color{CornflowerBlue} 175} \\[0.5em] &= 2 \cdot {3}^{3} \cdot {\color{YellowGreen} 5} \cdot {\color{CornflowerBlue} 35} \\[0.5em] &= 2 \cdot {3}^{3} \cdot {\underbrace{5 \cdot {\color{YellowGreen} 5}}_{{5}^{2}}} \cdot {\color{CornflowerBlue} 7} \\[0.5em] &= 2 \cdot {3}^{3} \cdot {5}^{2} \cdot {\color{YellowGreen} 7}\end{align*}

Für die Werte $$ 3960$$ und $$ 9450$$ ergeben sich die folgenden Primfaktorzerlegungen:

\begin{align*}3960 &= {2}^{\color{Orange}3} \cdot {3}^{\color{Orange}2} \cdot {5}^{\color{Orange}1} \cdot {11}^{\color{Orange}1} \\[0.5em]9450 &= {2}^{\color{CornflowerBlue}1} \cdot {3}^{\color{CornflowerBlue}3} \cdot {5}^{\color{CornflowerBlue}2} \cdot {7}^{\color{CornflowerBlue}1}\end{align*}

Anschließend werden diejenigen Primzahlen herausgesucht, die in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommen:

\[2, 3, 5\]

Der gesuchte größte gemeinsame Teiler kann nun dadurch berechnet werden, dass die jeweils kleineren Potenzen aller Primfaktoren, die in beiden Zerlegungen vorkommen, multipliziert werden.

\begin{align*}\ggT(3960, 9450) &= {2}^{\color{CornflowerBlue}1} \cdot {3}^{\color{Orange}2} \cdot {5}^{\color{Orange}1} \\[0.5em]&= 90\end{align*}

Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen

Gib den berechneten größten gemeinsamen Teiler ein.

\[\ggT(a,b)=\]