Aufgaben
Aufgaben zur linearen Unabhängigkeit
Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Lineare Unabhängigkeit erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen. Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für deine eigenen Aufgaben verfügbar.
Aufgabe 1 von 3
Gegeben seien die folgenden Vektoren mit Einträgen aus \(\Q\):
\[v_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\quad v_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}\quad v_{3} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}\]
Entscheide, ob die Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind.
Um zu entscheiden, ob die Vektoren \(v_1,v_2,v_3\) linear abhängig oder linear unabhängig sind, muss das folgende lineare Gleichungssystem gelöst werden:
\[ \lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 + \lambda_3v_3 = 0\]
Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.
\[\left[\begin{array}{rrr|r}1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 3 & 0 \end{array}\right]\]
Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.
\[\begin{array}{rrr|r|l}
1 & 0 & 2 & 0 & \\[0.25em]
1 & 1 & 1 & 0 & \text{II} - \text{I} \\[0.25em]
0 & -2 & 3 & 0 & \\[0.25em]
\hline
1 & 0 & 2 & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & -1 & 0 & \\[0.25em]
0 & -2 & 3 & 0 & \text{III} + 2 \cdot \text{II} \\[0.25em]
\hline
1 & 0 & 2 & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & -1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & 0 &
\end{array}\]
Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden.
\[\begin{align*}
\lambda_3 &= 0 \\[1em]
\lambda_2 &= 0+\lambda_3 \\[0.5em]
&= 0+0 \\[0.5em]
&= 0 \\[1em]
\lambda_1 &= 0-2\lambda_3 \\[0.5em]
&= 0-2 \cdot 0 \\[0.5em]
&= 0
\end{align*}\]
Da nur die triviale Lösung \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0\) für das Gleichungssystem existiert, sind die Vektoren \(v_1,v_2,v_3\) linear unabhängig.
