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Aufgaben

Aufgaben zu linearen Abbildungen

Artikel zum Nachlesen: Lineare Abbildung

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Lineare Abbildung erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und Beispielen und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen . Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für eigene Aufgaben verfügbar.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Aufgabe 1 von 3

Gegeben seien eine lineare Abbildung $f: \Q^{2} \rightarrow\Q^{3}$, die Vektoren $ v_{1}, v_{2}$ sowie deren Bilder $ f(v_{1}), f(v_{2})$.

\[v_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix} \quad v_{2} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}\]
\[f(v_{1}) = \begin{bmatrix} 9 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} \quad f(v_{2}) = \begin{bmatrix} 8 \\ -9 \\ 5 \end{bmatrix}\]

Bestimme das Bild $f(v)$ des folgenden Vektors $v$.

\[v=\begin{bmatrix} 1 \\ -5 \end{bmatrix}\]
Aufgabengenerator

Aufgabengenerator

Konfiguration anpassen
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Eigene Aufgabe

Eigene Aufgabe verwenden

Gib die Anzahl der Vektoren, die Dimensionen von Urbild und Bild sowie den Zahlenbereich an, aus dem die Koeffizienten der Vektoren stammen sollen.

Gib die Vektoren und ihre Bilder ein, die die lineare Abbildung beschreiben.

\[v_1=\]
$ 0$
$ 0$
$ 0$
\[v_2=\]
$ 0$
$ 0$
$ 0$
\[v_3=\]
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$f(v_{1})=$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$f(v_{2})=$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$f(v_{3})=$
$ 0$
$ 0$
$ 0$

Gib den Vektor ein, dessen Bild berechnet werden soll.

\[v=\]
$ 0$
$ 0$
$ 0$

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung

Zum Bestimmen des Bildes $f(v)$ muss zunächst der Vektor $ v$ als Linearkombination der Vektoren $ v_1,v_2$ dargestellt werden. Hierzu wird das folgende lineare Gleichungssystem gelöst.

\[\lambda_1v_1 + \lambda_2v_2=v\]

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\[\left[\begin{array}{rr|r}1 & 1 & 1 \\ -3 & -2 & -5 \end{array}\right]\]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\[\begin{array}{rr|r|l}
1 & 1 & 1 & \\[0.25em]
-3 & -2 & -5 & \text{II} + 3 \cdot \text{I} \\[0.25em]
\hline
1 & 1 & 1 & \\[0.25em]
0 & 1 & -2 &
\end{array}\]

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden.

\[\begin{align*}
\lambda_2 &= -2 \\[1em]
\lambda_1 &= 1-\lambda_2 \\[0.5em]
&= 1-\left(-2\right) \\[0.5em]
&= 3
\end{align*}\]

Mithilfe der gefundenen Lösung kann nun der Vektor $ v$ als Linearkombination der Vektoren $ v_1,v_2$ dargestellt und das Bild $f(v)$ unter Zuhilfenahme der Homogenität und Additivität der linearen Abbildung $f$ direkt berechnet werden.

\begin{align*} f(v) &= f\left(3v_1 - 2v_2\right) \\[0.5em]
&= f\left(3v_1\right) + f\left(-2v_2\right) \\[0.5em]
&= 3f\left(v_1\right) - 2f\left(v_2\right) \\[0.5em]
&= 3 \cdot \begin{bmatrix} 9 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} - 2 \cdot \begin{bmatrix} 8 \\ -9 \\ 5 \end{bmatrix} \\[0.5em]
&= \begin{bmatrix} 11 \\ 30 \\ -4 \end{bmatrix}\end{align*}
Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen

Gib das berechnete Bild $f(v)$ ein.

$ 0$
$ 0$
$ 0$