Aufgaben
Aufgaben zu linearen Abbildungen
Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Lineare Abbildung erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen. Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für deine eigenen Aufgaben verfügbar.
Aufgabe 1 von 3
Gegeben seien eine lineare Abbildung \(f: \Q^{2} \rightarrow\Q^{3}\), die Vektoren \(v_{1}, v_{2}\) sowie deren Bilder \(f(v_{1}), f(v_{2})\).
\[v_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix} \quad v_{2} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}\]
\[f(v_{1}) = \begin{bmatrix} 9 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} \quad f(v_{2}) = \begin{bmatrix} 8 \\ -9 \\ 5 \end{bmatrix}\]
Bestimme das Bild \(f(v)\) des folgenden Vektors \(v\).
\[v=\begin{bmatrix} 1 \\ -5 \end{bmatrix}\]
Zum Bestimmen des Bildes \(f(v)\) muss zunächst der Vektor \(v\) als Linearkombination der Vektoren \(v_1,v_2\) dargestellt werden. Hierzu wird das folgende lineare Gleichungssystem gelöst.
\[\lambda_1v_1 + \lambda_2v_2=v\]
Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.
\[\left[\begin{array}{rr|r}1 & 1 & 1 \\ -3 & -2 & -5 \end{array}\right]\]
Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.
\[\begin{array}{rr|r|l}
1 & 1 & 1 & \\[0.25em]
-3 & -2 & -5 & \text{II} + 3 \cdot \text{I} \\[0.25em]
\hline
1 & 1 & 1 & \\[0.25em]
0 & 1 & -2 &
\end{array}\]
Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden.
\[\begin{align*}
\lambda_2 &= -2 \\[1em]
\lambda_1 &= 1-\lambda_2 \\[0.5em]
&= 1-\left(-2\right) \\[0.5em]
&= 3
\end{align*}\]
Mithilfe der gefundenen Lösung kann nun der Vektor \(v\) als Linearkombination der Vektoren \(v_1,v_2\) dargestellt und das Bild \(f(v)\) unter Zuhilfenahme der Homogenität und Additivität der linearen Abbildung \(f\) direkt berechnet werden.
\begin{align*} f(v) &= f\left(3v_1 - 2v_2\right) \\[0.5em]
&= f\left(3v_1\right) + f\left(-2v_2\right) \\[0.5em]
&= 3f\left(v_1\right) - 2f\left(v_2\right) \\[0.5em]
&= 3 \cdot \begin{bmatrix} 9 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} - 2 \cdot \begin{bmatrix} 8 \\ -9 \\ 5 \end{bmatrix} \\[0.5em]
&= \begin{bmatrix} 11 \\ 30 \\ -4 \end{bmatrix}\end{align*}
