Aufgaben
Aufgaben zur Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung
Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Lineare Abbildung: Abbildungsmatrix erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen. Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für deine eigenen Aufgaben verfügbar.
Aufgabe 1 von 3
Gegeben seien eine lineare Abbildung \(f: \Q^{2} \rightarrow\Q^{3}\), die Vektoren \(v_{1}, v_{2}\) sowie deren Bilder \(f(v_{1}), f(v_{2})\).
\[v_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \quad v_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]
\[f(v_{1}) = \begin{bmatrix} 5 \\ -8 \\ -1 \end{bmatrix} \quad f(v_{2}) = \begin{bmatrix} -9 \\ -7 \\ -5 \end{bmatrix}\]
Bestimme die zur Abbildung \(f\) gehörende Abbildungsmatrix.
Zum Bestimmen der zur Abbildung \(f\) gehördenden Abbildungsmatrix müssen zunächst die Bilder der kanonischen Einheitsvektoren \(e_1,e_2\) bestimmt werden.
Für die Bilder der kanonischen Einheitsvektoren wurden die folgenden Bilder gefunden:
\[f(e_{1}) = \begin{bmatrix} 23 \\ 6 \\ 9 \end{bmatrix} \quad f(e_{2}) = \begin{bmatrix} -9 \\ -7 \\ -5 \end{bmatrix}\]
Diese können nun verwendet werden, um die gesuchte Abbildungsmatrix direkt zu erzeugen. Bei den gefundenen Bildern der kanonischen Einheitsvektoren handelt es sich um Spalten der Abbildungsmatrix.
\begin{align*} A &= \begin{bmatrix} \mid & \mid \\[0.25em] f(e_1) & f(e_2) \\[0.25em] \mid & \mid \end{bmatrix} \\[0.5em] &=\begin{bmatrix} 23 & -9 \\ 6 & -7 \\ 9 & -5 \end{bmatrix}\end{align*}
