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Aufgaben

Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Lineares Gleichungssystem erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen. Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für deine eigenen Aufgaben verfügbar.

Aufgabe 1 von 4

Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem mit Koeffizienten aus \(\Q\):

\[\begin{align*}
\begin{alignedat}{4}
x_1 &\ + &\ 2x_2 &\ + &\ 3x_3 &\ = &\ -11 \\[0.5em]
-x_1 &\ - &\ x_2 &\ - &\ x_3 &\ = &\ 2 \\[0.5em]
-3x_1 &\ - &\ 7x_2 &\ - &\ 10x_3 &\ = &\ 38
\end{alignedat}
\end{align*}\]

Löse das lineare Gleichungssystem mithilfe des Gauß-Algorithmus.



Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\[\left[\begin{array}{rrr|r}1 & 2 & 3 & -11 \\ -1 & -1 & -1 & 2 \\ -3 & -7 & -10 & 38 \end{array}\right]\]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\[\begin{array}{rrr|r|l}
1 & 2 & 3 & -11 & \\[0.25em]
-1 & -1 & -1 & 2 & \text{II} + \text{I} \\[0.25em]
-3 & -7 & -10 & 38 & \text{III} + 3 \cdot \text{I} \\[0.25em]
\hline
1 & 2 & 3 & -11 & \\[0.25em]
0 & 1 & 2 & -9 & \\[0.25em]
0 & -1 & -1 & 5 & \text{III} + \text{II} \\[0.25em]
\hline
1 & 2 & 3 & -11 & \\[0.25em]
0 & 1 & 2 & -9 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & -4 &
\end{array}\]

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden.

\[\begin{align*}
x_3 &= -4 \\[1em]
x_2 &= -9-2x_3 \\[0.5em]
&= -9-2 \cdot \left(-4\right) \\[0.5em]
&= -1 \\[1em]
x_1 &= -11-2x_2-3x_3 \\[0.5em]
&= -11-2 \cdot \left(-1\right)-3 \cdot \left(-4\right) \\[0.5em]
&= 3
\end{align*}\]