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Aufgaben

Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen

Artikel zum Nachlesen: Lineares Gleichungssystem, Gaußsches Eliminationsverfahren, Gauß-Jordan-Algorithmus

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Lineares Gleichungssystem erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und Beispielen und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen . Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für eigene Aufgaben verfügbar.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Aufgabe 1 von 4

Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem mit Koeffizienten aus $ \Q$:

\[\begin{align*}
\begin{alignedat}{4}
x_1 &\ + &\ 2x_2 &\ + &\ 3x_3 &\ = &\ -11 \\[0.5em]
-x_1 &\ - &\ x_2 &\ - &\ x_3 &\ = &\ 2 \\[0.5em]
-3x_1 &\ - &\ 7x_2 &\ - &\ 10x_3 &\ = &\ 38
\end{alignedat}
\end{align*}\]

Löse das lineare Gleichungssystem mithilfe des Gauß-Algorithmus.

Aufgabengenerator

Aufgabengenerator

Konfiguration anpassen
Eigene Aufgabe

Eigene Aufgabe verwenden

Gib zunächst die Anzahl der Gleichungen, die Anzahl der Variablen und den Zahlenbereich an, aus dem die Koeffizienten stammen sollen. Entscheide außerdem, ob anstelle des Gauß-Verfahrens das Gauß-Jordan-Verfahren verwendet werden soll.

Gib die Koeffizientenmatrix $A$ sowie den Lösungsvektor $b$ des linearen Gleichungssystems ein.

\[A=\]
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
\[b=\]
$ 0$
$ 0$
$ 0$

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\[\left[\begin{array}{rrr|r}1 & 2 & 3 & -11 \\ -1 & -1 & -1 & 2 \\ -3 & -7 & -10 & 38 \end{array}\right]\]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\[\begin{array}{rrr|r|l}
1 & 2 & 3 & -11 & \\[0.25em]
-1 & -1 & -1 & 2 & \text{II} + \text{I} \\[0.25em]
-3 & -7 & -10 & 38 & \text{III} + 3 \cdot \text{I} \\[0.25em]
\hline
1 & 2 & 3 & -11 & \\[0.25em]
0 & 1 & 2 & -9 & \\[0.25em]
0 & -1 & -1 & 5 & \text{III} + \text{II} \\[0.25em]
\hline
1 & 2 & 3 & -11 & \\[0.25em]
0 & 1 & 2 & -9 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & -4 &
\end{array}\]

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden.

\[\begin{align*}
x_3 &= -4 \\[1em]
x_2 &= -9-2x_3 \\[0.5em]
&= -9-2 \cdot \left(-4\right) \\[0.5em]
&= -1 \\[1em]
x_1 &= -11-2x_2-3x_3 \\[0.5em]
&= -11-2 \cdot \left(-1\right)-3 \cdot \left(-4\right) \\[0.5em]
&= 3
\end{align*}\]
Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen

Entscheide zunächst, ob das lineare Gleichungssystem keine, eine oder unendlich viele Lösungen besitzt.