Aufgaben

Newton-Verfahren – Interaktiver Aufgabengenerator

Artikel zum Nachlesen: Newton-Verfahren

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Newton-Verfahren erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Die ausgewählten Beispiele ermöglichen es dir, einige Generator-Konfigurationen und die verfügbare Unterstützung beim Lösen der Aufgaben unverbindlich und in aller Ruhe kennenzulernen.

Aufgabe 1 von 2

Bestimme mithilfe des Newton-Verfahrens eine Näherungslösung für die Nullstelle der nachfolgenden Funktion $f$.

f(x) = \sin{x}

Verwende als Startwert den Wert

$x_0 = 3$

Eigene Aufgabe

Eigene Aufgabe verwenden

Löse deine eigenen Aufgaben oder lasse deiner Neugier freien Lauf – mit voller Unterstützung des Generators.

Melde dich an, um deine eigenen Aufgaben zu verwenden und zu lösen. Jetzt anmelden!

Gib die Funktion $f(x)$ ein, für die das Newton-Verfahren angewendet werden soll. Gib außerdem eine erste Näherungslösung $x_0$ für die Nullstelle ein sowie die Anzahl $n$ der maximal durchzuführenden Iterationen.

\[f(x)=\]

\[x_0=\]

\[n=\]

Aufgabe lösen

Musterlösung

Eingegebene Funktion sowie initiale Schätzung $x_0$ der Nullstelle:

f\left(x\right) = \sin{x}

\[x_0 = 3\]

Zunächst wird die Rekursionsformel zur Berechnung der Nullstellen aufgestellt:

\begin{align*}x_{n+1} &= x_n- \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \\[0.5em]&= x_n - \frac{\sin{x_n}}{\cos{x_n}}\end{align*}

Die Anwendung des Newton-Verfahrens liefert die folgenden Näherungswerte für die Nullstellen:

\begin{align*}x_0 &= 3 \\[0.5em]x_1 &= 3.1425465430742778 \\[0.5em]x_2 &= 3.141592653300477 \\[0.5em]x_3 &= 3.1415926535897931 \\[0.5em]x_4 &= 3.1415926535897931 \\[0.5em]x_5 &= 3.1415926535897931\end{align*}

Die Näherungswerte $$ x_3$$ und $$ x_5$$ stimmen überein. Das bedeutet, dass sich das Newton-Verfahren in einer Schleife befindet und folglich keine weiter verbesserten Näherungswerte mehr liefern kann.

Die benötigte JavaScript-Unterstützung wurde nicht gefunden.