Aufgaben
Aufgaben zum Newton-Verfahren
Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Newton-Verfahren erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen. Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für deine eigenen Aufgaben verfügbar.
Aufgabe 1 von 2
Bestimme mithilfe des Newton-Verfahrens eine Näherungslösung für die Nullstelle der nachfolgenden Funktion \(f\).
\[f(x) = \sin{\left(x\right)}\]
Verwende als Startwert den Wert
\(x_0 = 3\).
Eingegebene Funktion sowie initiale Schätzung $x_0$ der Nullstelle:
\[f\left(x\right) = \sin{\left(x\right)}\]
\[x_{0} = 3\]
Zunächst wird die Rekursionsformel zur Berechnung der Nullstellen aufgestellt:
\[\begin{align*}
x_{n+1} &= x_n- \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \\[0.5em]
&= x_n - \frac{\sin{\left(x_n\right)}}{\cos{\left(x_n\right)}}
\end{align*}\]
Die Anwendung des Newton-Verfahrens liefert die folgenden Näherungswerte für die Nullstellen:
\[\begin{align*}
x_{0} &= 3 \\[0.5em]
x_{1} &= 3.1425465430742778 \\[0.5em]
x_{2} &= 3.141592653300477 \\[0.5em]
x_{3} &= 3.1415926535897931 \\[0.5em]
x_{4} &= 3.1415926535897931 \\[0.5em]
x_{5} &= 3.1415926535897931
\end{align*}\]
Die Näherungswerte \(x_{3}\) und \(x_{5}\) stimmen überein. Das bedeutet, dass sich das Newton-Verfahren in einer Schleife befindet und folglich keine weiter verbesserten Näherungswerte mehr liefern kann.
