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Aufgaben zur Basis eines Polynomraums

Zum Nachlesen: Basis

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Basis eines Polynomraums erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen. Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für deine eigenen Aufgaben verfügbar.

Aufgabe 1 von 3

Gegeben seien die folgenden Polynome mit Koeffizienten aus $\Q$ :

\begin{align*}p_{1}(x) &= x^2 - 2x + 4 \\[0.5em]p_{2}(x) &= x - 3 \\[0.5em]p_{3}(x) &= -2x^2 + 2x - 1\end{align*}

Bestimme eine Basis des durch die gegebenen Polynome aufgespannten Vektorraums $W$.

Musterlösung
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Um eine Basis $\mathfrak{B}_W$ des durch die Polynome $$p_1,p_2,p_3$$ aufgespannten Vektorraums $W$ zu bestimmen, werden die Polynome durch die Vektoren $$v_1,v_2,v_3$$ repräsentiert, deren Einträge den Koeffizienten der Polynome entsprechen.

v_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix} \quad v_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -3 \end{bmatrix} \quad v_{3} = \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}

Um eine Basis $\mathfrak{B}_V$ des durch die Vektoren $$v_1,v_2,v_3$$ aufgespannten Vektorraums $V$ zu bestimmen, werden die Vektoren zunächst als Zeilen einer Matrix $A$ aufgefasst.

A=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & -3 \\ -2 & 2 & -1 \end{bmatrix}

Die Zeilenvektoren der Matrix $A$ spannen den Zeilenraum $Z(A)$ auf, der dem durch die Vektoren $$v_1,v_2,v_3$$ aufgespannten Vektorraum $V$ entspricht. Die erhaltene Matrix $A$ wird anschließend in Zeilenstufenform überführt.

Das Überführen in Zeilenstufenform geschieht schrittweise mithilfe des Gauß-Algorithmus:

\begin{array}{rrr|l}1 & -2 & 4 & \\[0.25em]0 & 1 & -3 & \\[0.25em]-2 & 2 & -1 & \text{III} + 2 \cdot \text{I} \\[0.25em]\hline1 & -2 & 4 & \\[0.25em]0 & 1 & -3 & \\[0.25em]0 & -2 & 7 & \text{III} + 2 \cdot \text{II} \\[0.25em]\hline1 & -2 & 4 & \\[0.25em]0 & 1 & -3 & \\[0.25em]0 & 0 & 1 & \end{array}

Die als Zeilenstufenform vorliegende Matrix $A'$ kann nun im letzten Schritt direkt abgelesen werden.

A'=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Da elementare Zeilenumformungen den Zeilenraum einer Matrix nicht verändern, besitzt die Matrix $A'$ denselben Zeilenraum wie die ursprüngliche Matrix $A$ – es gilt somit $Z(A')=Z(A)=V$. Der Zeilenraum $Z(A')$ wird durch die Nicht-Nullzeilen der Matrix $A'$ aufgespannt. Da diese aufgrund der vorliegenden Zeilenstufenform der Matrix $A'$ zudem implizit linear unabhängig sind, handelt es sich hierbei folglich um eine Basis des Zeilenraums $Z(A')$, und somit auch um eine Basis $\mathfrak{B}_V$ des durch die Vektoren $$v_1,v_2,v_3$$ aufgespannten Vektorraums $V$.

b_{1}=\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix}\quad b_{2}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -3 \end{bmatrix}\quad b_{3}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]\[\mathfrak{B}_V = \Bigl\{b_1,b_2,b_3\Bigr\}

Abschließend können die gefundenen Basisvektoren wieder als Polynome interpretiert werden.

\begin{align*}b_{1}(x) &= x^2 - 2x + 4 \\[0.5em]b_{2}(x) &= x - 3 \\[0.5em]b_{3}(x) &= 1\end{align*}\]\[\mathfrak{B}_W = \Bigl\{b_1,b_2,b_3\Bigr\}