Um zu entscheiden, ob die Polynome \(p_1,p_2,p_3\) linear abhängig oder linear unabhängig sind, muss die nachfolgende Gleichung gelöst werden.
\[ \lambda_1p_1(x) + \lambda_2p_2(x) + \lambda_3p_3(x) = 0\]
Zunächst werden die Polynome \(p_1,p_2,p_3\) in die Gleichung eingesetzt und der resultierende Gesamtausdruck anschließend nach Potenzen gruppiert.
\[\begin{align*}
0 &=
x^{2} \cdot \left( \lambda_1+2\lambda_3 \right) \\
&+ x^{1} \cdot \left( \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3 \right) \\
&+ x^{0} \cdot \left( -2\lambda_2+3\lambda_3 \right)\end{align*}\]
Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn ihre Koeffizienten übereinstimmen. Aus der vorausgehenden Gleichung ergibt sich demensprechend das nachfolgende lineare Gleichungssystem, mit dessen Hilfe die gesuchten Parameter \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\) berechnet werden können.
\[\begin{align*}
\begin{alignedat}{4}
\lambda_1 &\ &\ &\ + &\ 2\lambda_3 &\ = &\ 0 \\[0.5em]
\lambda_1 &\ + &\ \lambda_2 &\ + &\ \lambda_3 &\ = &\ 0 \\[0.5em]
&\ - &\ 2\lambda_2 &\ + &\ 3\lambda_3 &\ = &\ 0
\end{alignedat}
\end{align*}\]
Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.
\[\left[\begin{array}{rrr|r}1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 3 & 0 \end{array}\right]\]
Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.
\[\begin{array}{rrr|r|l}
1 & 0 & 2 & 0 & \\[0.25em]
1 & 1 & 1 & 0 & \text{II} - \text{I} \\[0.25em]
0 & -2 & 3 & 0 & \\[0.25em]
\hline
1 & 0 & 2 & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & -1 & 0 & \\[0.25em]
0 & -2 & 3 & 0 & \text{III} + 2 \cdot \text{II} \\[0.25em]
\hline
1 & 0 & 2 & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & -1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & 0 &
\end{array}\]
Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden.
\[\begin{align*}
\lambda_3 &= 0 \\[1em]
\lambda_2 &= 0+\lambda_3 \\[0.5em]
&= 0+0 \\[0.5em]
&= 0 \\[1em]
\lambda_1 &= 0-2\lambda_3 \\[0.5em]
&= 0-2 \cdot 0 \\[0.5em]
&= 0
\end{align*}\]
Da nur die triviale Lösung \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0\) für das Gleichungssystem existiert, sind die Polynome \(p_1,p_2,p_3\) linear unabhängig.
