Arkuskosekans (Integrationsregel)
Herleitung der Stammfunktion von $\arccsc(x)$
Die Betragsfunktion $|x|$ ist nicht elementar integrierbar – sie muss mittels Fallunterscheidung vor dem Integrieren aufgelöst werden. Da die Funktion $\arccsc$ nur für $x$ mit $x^2 \geq 1$ definiert ist, werden die Fälle $x \leq -1$ sowie $x \geq 1$ unterschieden:
- $x \geq 1$: \begin{align*} \int{\arccsc(x)\ dx} &= x \cdot \arccsc(x) + \int{x \cdot \frac{1}{|x| \cdot \sqrt{x^2-1}}\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \arccsc(x) + \int{x \cdot \frac{1}{x \cdot \sqrt{x^2-1}}\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \arccsc(x) + \int{\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ dx} \end{align*}
- $x \leq -1$: \begin{align*} \int{\arccsc(x)\ dx} &= x \cdot \arccsc(x) + \int{x \cdot \frac{1}{|x| \cdot \sqrt{x^2-1}}\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \arccsc(x) + \int{x \cdot \frac{1}{-x \cdot \sqrt{x^2-1}}\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \arccsc(x) - \int{\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ dx} \end{align*}
In beiden Fällen muss $\displaystyle\int{\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ dx}$ bestimmt werden. Hierzu wird zunächst der Integrant mit $\dfrac{x + \sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1} + x}$ ($ = 1$) multipliziert:
Anschließend wird mit $t = \sqrt{x^2-1} + x$ substituiert. Aus $t = \sqrt{x^2-1} + x$ folgt $dt = \left( \dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}} + 1 \right)\ dx$.
Die Kombination der beiden Fälle ergibt:
Für $x \leq -1$ gilt $\sqrt{x^2-1} + x \le 0$. Der Ausdruck $\ln\left( \sqrt{x^2-1} + x \right)$ ist für $x \leq -1$ folglich nicht definiert – die Lösung für $x \leq -1$ entfällt.
Als Gesamtlösung ergibt sich:
Herleitung der Stammfunktion von $\arccsc^{-1}(x)$
N/A
Herleitung der Stammfunktion von $\arccsc^n(x)$
N/A
Herleitung der Stammfunktion von $\arccsc^{-n}(x)$
N/A