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Arkuskosekans (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Arkuskosekans-Funktion (abgekürzt: arccsc, acsc) lässt sich mithilfe von partieller Integration, Integration durch Substitution sowie einer notwendigen Fallunterscheidung bestimmen. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Herleitung der Stammfunktion, demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen und beschäftigt sich mit den Integrationsregeln für ganzzahlige Potenzen der Arkuskosekans-Funktion.

Grundlagen

Die Arkuskosekans-Funktion ist eine der Arkusfunktionen. Sie ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $|x| \geq 1$ definiert und kann als Umkehrfunktion der Kosekans-Funktion formal wie folgt definiert werden (mit $y \in \R$, $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$ und $y \neq 0$):

\arccsc(x) = y \quad\Leftrightarrow\quad \csc(y) = x.

Integrationsregel

Die Stammfunktion der Arkuskosekans-Funktion (abgekürzt: arccsc, acsc) ist für alle $x$ mit $|x| \geq 1$ wie folgt definiert:

\begin{align*} \int{\arccsc(x)\ dx} &= x \cdot \arccsc(x) + \ln\left( \sqrt{x^2-1} + |x| \right) + \mathcal{C} \\[0.75em] &= x \cdot \arccsc(x) + \arcosh(|x|) + \mathcal{C} \end{align*}

Hinweis: Bei $\mathcal{C}$ handelt es sich wie üblich um die Integrationskonstante. Für Potenzen der Arkuskosekans-Funktion mit positiven ganzzahligen Exponenten $n \gt 1$ sowie für Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten $n \leq -1$ existieren keine geschlossenen Integrationsregeln – diese sind nicht elementar integrierbar.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Arkuskosekans-Funktion bestimmt werden soll:

f(x) = \arccsc(5x)

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $f(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t = 5x$ substituiert, woraus sich $dt = 5\ dx$ bzw. $dx = \frac{1}{5}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{f(x)\ dx} &= \int{\arccsc(5x)\ dx} \\[0.75em] &= \int{\arccsc(t) \cdot \frac{1}{5}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{5} \cdot \int{\arccsc(t)\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{5} \cdot \left( t \cdot \arccsc(t) + \ln\left(\sqrt{t^2-1} + |t|\right) \right) \\[0.75em] &= \frac{1}{5} \cdot \left( 5x \cdot \arccsc(5x) + \ln\left(\sqrt{{(5x)}^2-1} + |5x|\right) \right) \\[0.75em] &= x \cdot \arccsc(5x) + \frac{1}{5} \cdot \ln\left(\sqrt{25x^2-1} + |5x| \right) + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Arkuskosekans-Funktion bestimmt werden soll:

g(x) = \arccsc\left(x^2+1\right) \cdot x

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $g(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t = x^2+1$ substituiert, woraus sich $dt = 2x\ dx$ bzw. $x\ dx = \frac{1}{2}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{g(x)\ dx} &= \int{\arccsc\left(x^2+1\right) \cdot x\ dx} \\[0.75em] &= \int{\arccsc(t) \cdot \frac{1}{2}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \int{\arccsc(t)\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( t \cdot \arccsc(t) + \ln\left(\sqrt{t^2-1} + |t|\right) \right) \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( \left(x^2+1\right) \cdot \arccsc\left(x^2+1\right) + \ln\left(\sqrt{{(x^2+1)}^2-1} + \left|x^2+1\right|\right) \right) \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \left(x^2+1\right) \cdot \arccsc\left(x^2+1\right) + \frac{1}{2} \cdot \ln\left(\sqrt{x^4+2x^2} + x^2+1\right) + \mathcal{C} \end{align*}

Herleitung der Integrationsregel von arccsc(x)

Die Herleitung der Integrationsregel bzw. der Stammfunktion der Arkuskosekans-Funktion beginnt mithilfe von partieller Integration. Es gilt:

\begin{align*} \int{\arccsc(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{1 \cdot \arccsc(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} x \cdot \arccsc(x) - \int{x \cdot \left( -\frac{1}{|x| \cdot \sqrt{x^2-1}} \right)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} x \cdot \arccsc(x) + \int{x \cdot \frac{1}{|x| \cdot \sqrt{x^2-1}}\ dx} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Umschreiben von $\arccsc(x)$ als Produkt $1 \cdot \arccsc(x)$, um partielle Integration anwenden zu können
(2)	Anwenden von partieller Integration mit $\begin{align} u' &= 1 \\[0.75em] v &= \arccsc(x) \end{align}$ Mithilfe der Ableitungsregel der Arkuskosekans-Funktion ergibt sich: $\begin{align} u &= x \\[0.75em] v' &= -\frac{1}{\|x\| \cdot \sqrt{x^2-1}} \end{align}$ Es gilt $\int{u'v} = uv - \int{uv'}$
(3)	Herausziehen des Faktors $-1$ mithilfe der Faktorregel für Integrale

Da die Betragsfunktion nicht elementar integrierbar ist, muss der Betrag vor dem Integrieren aufgelöst werden. Da die Arkuskosekans-Funktion nur für $|x| \geq 1$ definiert ist, werden die Fälle $x \leq -1$ und $x \geq 1$ unterschieden, für die der Betrag sauber aufgelöst werden kann.

Fall 1: x ≥ 1

Für $x \geq 1$ kann der Betrag sauber aufgelöst und das Integral anschließend mithilfe von Integration durch Substitution bestimmt werden.

\begin{align*} \int{\arccsc(x)\ dx} &\overset{(4)}{=} x \cdot \arccsc(x) + \int{\frac{x}{x \cdot \sqrt{x^2-1}}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} x \cdot \arccsc(x) + \int{\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} x \cdot \arccsc(x) + \int{\frac{1}{t}\ dt} \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} x \cdot \arccsc(x) + \ln|t| \\[0.75em] &\overset{(8)}{=} x \cdot \arccsc(x) + \ln\left| \sqrt{x^2-1} + x \right| \\[0.75em] &\overset{(9)}{=} x \cdot \arccsc(x) + \ln\left( \sqrt{x^2-1} + x \right) + \mathcal{C} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(4)	Auflösen des Betrags Es gilt $\|x\| = x$ wegen $x \geq 1$
(5)	Kürzen von $x$
(6)	Anwenden von Integration durch Substitution Ersetzen von $t = \sqrt{x^2-1} + x$ Mithilfe der Ableitungsregel für Wurzeln, der Ableitungsregel für Potenzen und der Kettenregel ergibt sich: $\begin{align} dt &= \left( \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} + 1 \right)\ dx \\[0.75em] &= \frac{x + \sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1}}\ dx \\[0.75em] &= \frac{t}{\sqrt{x^2-1}}\ dx \end{align}$ Es folgt: $\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ dx = \frac{1}{t}\ dt$
(7)	Auflösen des Integrals mithilfe der Umkehrung der Ableitungsregel der Logarithmusfunktion
(8)	Resubstitution von $t = \sqrt{x^2-1} + x$
(9)	Auflösen des Betrags; für $x \geq 1$ gilt stets $\sqrt{x^2-1} + x \geq 0$ Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Fall 2: x ≤ -1

Für $x \leq -1$ kann der Betrag sauber aufgelöst und das Integral anschließend mithilfe von Integration durch Substitution bestimmt werden – analog zum vorausgehenden Fall.

\begin{align*} \int{\arccsc(x)\ dx} &\overset{(4)}{=} x \cdot \arccsc(x) + \int{\frac{x}{(-x) \cdot \sqrt{x^2-1}}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} x \cdot \arccsc(x) + \int{\frac{-1}{\sqrt{x^2-1}}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} x \cdot \arccsc(x) + \int{\frac{1}{t}\ dt} \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} x \cdot \arccsc(x) + \ln|t| \\[0.75em] &\overset{(8)}{=} x \cdot \arccsc(x) + \ln\left| \sqrt{x^2-1} - x \right| \\[0.75em] &\overset{(9)}{=} x \cdot \arccsc(x) + \ln\left( \sqrt{x^2-1} - x \right) + \mathcal{C} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(4)	Auflösen des Betrags Es gilt $\|x\| = -x$ wegen $x \leq -1$
(5)	Kürzen von $x$ Erweitern des Terms im Integral mit $-1$, um das Vorzeichen in den Zähler zu ziehen
(6)	Anwenden von Integration durch Substitution Ersetzen von $t = \sqrt{x^2-1} - x$ Mithilfe der Ableitungsregel für Wurzeln, der Ableitungsregel für Potenzen und der Kettenregel ergibt sich: $\begin{align} dt &= \left( \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} - 1 \right)\ dx \\[0.75em] &= \frac{x - \sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1}}\ dx \\[0.75em] &= -\frac{\sqrt{x^2-1} - x}{\sqrt{x^2-1}}\ dx \\[0.75em] &= -\frac{t}{\sqrt{x^2-1}}\ dx \end{align}$ Es folgt: $\frac{-1}{\sqrt{x^2-1}}\ dx = \frac{1}{t}\ dt$
(7)	Auflösen des Integrals mithilfe der Umkehrung der Ableitungsregel der Logarithmusfunktion
(8)	Resubstitution von $t = \sqrt{x^2-1} - x$
(9)	Auflösen des Betrags; für $x \leq -1$ gilt stets $\sqrt{x^2-1} - x \geq 0$ Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Zusammenführung beider Fälle

Die gefundenen Lösungen gelten jeweils nur für ihren Fall; die Formel für $x \geq 1$ ist für $x \leq -1$ nicht berechenbar – und umgekehrt. Als Gesamtlösung ergibt sich somit zunächst die folgende Fallunterscheidung:

\int{\arccsc(x)\ dx} = \begin{cases} x \cdot \arccsc(x) + \ln\left( \sqrt{x^2-1} + x \right) + \mathcal{C} &(\text{für } x \geq 1) \\[0.75em] x \cdot \arccsc(x) + \ln\left( \sqrt{x^2-1} - x \right) + \mathcal{C} &(\text{für } x \leq -1) \end{cases}

Beide Formeln unterscheiden sich nur im Vorzeichen des Terms $x$ innerhalb der Logarithmusfunktion: $+x$ für $x \geq 1$ und $-x$ für $x \leq -1$. Dies kann mithilfe der Betragsfunktion wie folgt zusammenfassend dargestellt werden:

\int{\arccsc(x)\ dx} = x \cdot \arccsc(x) + \ln\left( \sqrt{x^2-1} + |x| \right) + \mathcal{C}

Mithilfe der Definition der Areakosinus-hyperbolicus-Funktion kann dieses Ergebnis noch kompakter darstellt werden:

\int{\arccsc(x)\ dx} = x \cdot \arccsc(x) + \arcosh(|x|) + \mathcal{C}

Herleitung der Integrationsregel von arccscⁿ(x) für n > 1 und n ≤ -1

Für positive ganzzahlige Exponenten $n \gt 1$ sowie für negative ganzzahlige Exponenten $n \leq -1$ können Potenzen der Arkuskosekans-Funktion nicht integriert werden. Es existiert weder eine explizite Integrationsregel noch eine Rekursionsformel. Partielle Integration führt stets zu Integralen, die nicht elementar integrierbar sind.

Die Nicht-Integrierbarkeit ist ein bekanntes Resultat der Differentialalgebra und kann beispielsweise mithilfe des Risch-Algorithmus formal bewiesen werden.