Nachlesen
Aleiutngsregel für Arkuskosekans
Inhalt
Herleitung
Es sei $y = \arccsc(x)$. Gemäß Definition von $\arccsc$ gilt $x = \csc(y)$ und es folgt:
\begin{align*} x &= \csc(y) \\[0.75em] &= \frac{1}{\sin(y)} \\[0.75em] \frac{d}{dx}\Bigl[ x \Bigr] &= \frac{d}{dx}\Bigl[ \frac{1}{\sin(y)} \Bigr] \\[0.75em] 1 &= -\frac{\cos(y)}{\sin^2(y)} \cdot \frac{d}{dx}\Bigl[ y \Bigr] \\[0.75em] \frac{d}{dx}\Bigl[ y \Bigr] &= -\frac{\sin^2(y)}{\cos(y)} \end{align*}
Unter Verwendung der Identität $\sin^2(y) + \cos^2(y) = 1$ folgt:
\begin{align*} \cos^2(y) & = 1 - \sin^2(y) \\[0.75em] \cos(y) &= \pm \sqrt{1 - \sin^2(y)} \end{align*}
Gemäß der Definition des $\arccsc$ gilt $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$ und folglich $\cos(y) \geq 0$, weswegen nur die positive Lösung der Wurzel relevant ist.
\[ \cos(y) = \sqrt{1 - \sin^2(y)} \]
Einsetzen in die vorherige Rechnung liefert die gesuchte Formel für die Ableitung des $\arccsc$:
\begin{align*} \frac{d}{dx}\Bigl[ y \Bigr] &= -\frac{\sin^2(y)}{\cos(y)} \\[0.75em] &= -\frac{\sin^2(y)}{\sqrt{1 - \sin^2(y)}} \\[0.75em] &= -\frac{1}{\csc^2(y) \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{\csc^2(y)}}} \\[0.75em] &= \frac{-1}{x^2 \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} \end{align*}