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Integrationsregel für Arkuskosinus

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Herleitung der Stammfunktion von $\arccos(x)$

\begin{align*} \int{\arccos(x)\ dx} &= \int{1 \cdot \arccos(x)\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \arccos(x) - \int{x \cdot \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \arccos(x) + \int{x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ dx} \end{align*}

Substitution von $t = 1-x^2$. Aus $t = 1-x^2$ folgt $dx = \frac{dt}{-2x}$.

\begin{align*} \int{x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ dx} &= \int{x \cdot \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{dt}{-2x}} \\[0.75em] &= -\int{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{t}}\ dt} \\[0.75em] &= -\int{\frac{1}{2} \cdot t^{-\frac{1}{2}}\ dt} \\[0.75em] &= -t^{\frac{1}{2}} \\[0.75em] &= -\sqrt{1-x^2} \end{align*}

Es folgt:

\begin{align*} \int{\arccos(x)\ dx} &= x \cdot \arccos(x) - \sqrt{1-x^2} \end{align*}

N/A

Partielle Integration:

\begin{align*} \int{\arccos^n(x)\ dx} &= \int{\arccos(x) \cdot \arccos^{n-1}(x)\ dx} \\[0.75em] &= \left( x \cdot \arccos(x) - \sqrt{1 - x^2} \right) \cdot \arccos^{n-1}(x) \\[0.75em] &\qquad- \int{\left( x \cdot \arccos(x) - \sqrt{1 - x^2} \right) \cdot (n-1) \cdot \arccos^{n-2}(x) \cdot \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \arccos^n(x) - \sqrt{1 - x^2} \cdot \arccos^{n-1}(x) \\[0.75em] &\qquad + (n-1) \cdot \left( \int{\frac{x \cdot \arccos(x) \cdot \arccos^{n-2}(x)}{\sqrt{1-x^2}}\ dx} - \int{\frac{\sqrt{1-x^2} \cdot \arccos^{n-2}(x)}{\sqrt{1-x^2}}\ dx} \right) \\[0.75em] &= x \cdot \arccos^n(x) - \sqrt{1 - x^2} \cdot \arccos^{n-1}(x) \\[0.75em] &\qquad + (n-1) \cdot \int{\frac{x \cdot \arccos^{n-1}(x)}{\sqrt{1-x^2}}\ dx} - (n-1) \cdot \int{\arccos^{n-2}(x)\ dx} \end{align*}

Umformung von $(n-1) \cdot \int{\frac{x \cdot \arccos^{n-1}(x)}{\sqrt{1-x^2}}\ dx}$:

\begin{align*} (n-1) \cdot \int{\frac{x \cdot \arccos^{n-1}(x)}{\sqrt{1-x^2}}\ dx} &= -\frac{n-1}{n} \cdot \int{\frac{x \cdot (-1) \cdot n \cdot \arccos^{n-1}(x)}{\sqrt{1-x^2}}\ dx} \\[0.75em] &= -\frac{n-1}{n} \cdot \int{ x \cdot \left[ n \cdot \arccos^{n-1}(x) \cdot \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \right]\ dx} \\[0.75em] &= -\frac{n-1}{n} \cdot \left( x \cdot \arccos^n(x) - \int{1 \cdot \arccos^n(x)\ dx} \right) \end{align*}

Einsetzen in das Integral $\int{\arccos^n(x)\ dx}$:

\begin{align*} \int{\arccos^n(x)\ dx} &= x \cdot \arccos^n(x) - \sqrt{1 - x^2} \cdot \arccos^{n-1}(x) \\[0.75em] &\qquad - \frac{n-1}{n} \cdot \left( x \cdot \arccos^n(x) - \int{1 \cdot \arccos^n(x)\ dx} \right) - (n-1) \cdot \int{\arccos^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \arccos^n(x) - \sqrt{1 - x^2} \cdot \arccos^{n-1}(x) \\[0.75em] &\qquad - \frac{n-1}{n} \cdot x \cdot \arccos^n(x) + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\arccos^n(x)\ dx} - (n-1) \cdot \int{\arccos^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &= \left( 1 - \frac{n-1}{n} \right) \cdot x \cdot \arccos^n(x) - \sqrt{1 - x^2} \cdot \arccos^{n-1}(x) \\[0.75em] &\qquad + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\arccos^n(x)\ dx} - (n-1) \cdot \int{\arccos^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] \end{align*}

Umstellen nach $\int{\arccos^n(x)\ dx}$:

\begin{align*} \left( 1 - \frac{n-1}{n} \right) \cdot \int{\arccos^n(x)\ dx} &= \left( 1 - \frac{n-1}{n} \right) \cdot x \cdot \arccos^n(x) - \sqrt{1 - x^2} \cdot \arccos^{n-1}(x) - (n-1) \cdot \int{\arccos^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] \frac{1}{n} \cdot \int{\arccos^n(x)\ dx} &= \frac{1}{n} \cdot x \cdot \arccos^n(x) - \sqrt{1 - x^2} \cdot \arccos^{n-1}(x) - (n-1) \cdot \int{\arccos^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\arccos^n(x)\ dx} &= x \cdot \arccos^n(x) - n \cdot \sqrt{1 - x^2} \cdot \arccos^{n-1}(x) - n \cdot (n-1) \cdot \int{\arccos^{n-2}(x)\ dx} \end{align*}

N/A