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Arkuskotangens (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Arkuskotangens-Funktion (abgekürzt: arccot, acot) lässt sich mithilfe von partieller Integration und Integration durch Substitution bestimmen. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Herleitung der Stammfunktion, demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen und beschäftigt sich mit den Integrationsregeln für ganzzahlige Potenzen der Arkuskotangens-Funktion.

Grundlagen

Die Arkuskotangens-Funktion ist eine der Arkusfunktionen. Sie kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ als Umkehrfunktion der Kotangens-Funktion formal wie folgt definiert werden (mit $y \in \R$ und $0 \lt y \lt \pi$):

\text{arccot}(x) = y \iff \cot(y) = x.

Integrationsregel

Die Stammfunktion der Arkuskotangens-Funktion (abgekürzt: arccot, acot) ist für alle $x \in \R$ wie folgt definiert:

\int{\text{arccot}(x)\ dx} = x \cdot \text{arccot}(x) + \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl(x^2 + 1\bigr) + \mathcal{C}

Hinweis: Bei $\mathcal{C}$ handelt es sich wie üblich um die Integrationskonstante. Für Potenzen der Arkuskotangens-Funktion mit positiven ganzzahligen Exponenten $n \gt 1$ sowie für Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten $n \leq -1$ existieren keine geschlossenen Integrationsregeln – diese sind nicht elementar integrierbar.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Arkuskotangens-Funktion bestimmt werden soll:

f(x) = \text{arccot}(7x)

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $f(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=7x$ substituiert, woraus sich $dt = 7\ dx$ bzw. $dx = \frac{1}{7}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{f(x)\ dx} &= \int{\text{arccot}(7x)\ dx} \\[0.75em] &= \int{\text{arccot}(t) \cdot \frac{1}{7}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{7} \cdot \int{\text{arccot}(t)\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{7} \cdot \left( t \cdot \text{arccot}(t) + \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl(t^2+1\bigr) \right) \\[0.75em] &= \frac{1}{7} \cdot \left( 7x \cdot \text{arccot}(7x) + \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl({(7x)}^2+1\bigr) \right) \\[0.75em] &= x \cdot \text{arccot}(7x) + \frac{1}{14} \cdot \ln\bigl(49x^2+1\bigr) + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Arkuskotangens-Funktion bestimmt werden soll:

g(x) = \text{arccot}\left(x^2\right) \cdot x

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $g(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=x^2$ substituiert, woraus sich $dt = 2x\ dx$ bzw. $x\ dx = \frac{1}{2}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{g(x)\ dx} &= \int{\text{arccot}\bigl(x^2\bigr) \cdot x\ dx} \\[0.75em] &= \int{\text{arccot}(t) \cdot \frac{1}{2}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \int{\text{arccot}(t)\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( t \cdot \text{arccot}(t) + \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl(t^2+1\bigr) \right) \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( x^2 \cdot \text{arccot}\bigl(x^2\bigr) + \frac{1}{2} \cdot \ln\left({(x^2)}^2+1\right) \right) \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot x^2 \cdot \text{arccot}\bigl(x^2\bigr) + \frac{1}{4} \cdot \ln\bigl(x^4+1\bigr) + \mathcal{C} \end{align*}

Herleitung der Integrationsregel von arccot(x)

Die Herleitung der Integrationsregel bzw. der Stammfunktion der Arkuskotangens-Funktion erfolgt mithilfe von partieller Integration und Integration durch Substitution. Es gilt:

\begin{align*} \int{\text{arccot}(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{1 \cdot \text{arccot}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} x \cdot \text{arccot}(x) - \int{x \cdot \left( -\frac{1}{x^2+1} \right)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} x \cdot \text{arccot}(x) - \int{\left(-\frac{1}{t}\right) \cdot \frac{1}{2}\ dt} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} x \cdot \text{arccot}(x) + \frac{1}{2} \cdot \int{\frac{1}{t}\ dt} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} x \cdot \text{arccot}(x) + \frac{1}{2} \cdot \ln|t| \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} x \cdot \text{arccot}(x) + \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl|x^2+1\bigr| \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} x \cdot \text{arccot}(x) + \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl(x^2+1\bigr) + \mathcal{C} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Umschreiben von $\text{arccot}(x)$ als Produkt $1 \cdot \text{arccot}(x)$, um partielle Integration anwenden zu können
(2)	Anwenden von partieller Integration mit $\begin{align} u' &= 1 \\[0.75em] v &= \text{arccot}(x) \end{align}$ Mithilfe der Ableitungsregel der Arkuskotangens-Funktion ergibt sich: $\begin{align} u &= x \\[0.75em] v' &= -\frac{1}{x^2+1} \end{align}$ Es gilt $\int{u'v} = uv - \int{uv'}$
(3)	Anwenden von Integration durch Substitution Ersetzen von $t = x^2 + 1$ Mithilfe der Ableitungsregel für Potenzen ergibt sich: $\begin{align} dt &= 2x\ dx \\[0.75em] x\ dx &= \frac{1}{2}\ dt \end{align}$
(4)	Herausziehen des konstanten Faktors $-\frac{1}{2}$ mithilfe der Faktorregel für Integrale
(5)	Auflösen des Integrals mithilfe der Umkehrung der Ableitungsregel der Logarithmusfunktion
(6)	Resubstitution von $t = x^2+1$
(7)	Auflösen des Betrags mithilfe der Eigenschaft $x^2+1 \geq 0$ Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Herleitung der Integrationsregel von arccotⁿ(x) für n > 1 und n ≤ -1

Für positive ganzzahlige Exponenten $n \gt 1$ sowie für negative ganzzahlige Exponenten $n \leq -1$ können Potenzen der Arkuskotangens-Funktion nicht integriert werden. Es existiert weder eine explizite Integrationsregel noch eine Rekursionsformel. Partielle Integration führt stets zu Integralen, die nicht elementar integrierbar sind.

Die Nicht-Integrierbarkeit ist ein bekanntes Resultat der Differentialalgebra und kann beispielsweise mithilfe des Risch-Algorithmus formal bewiesen werden.