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Integrationsregel für Arkussekans

Inhalt

Herleitung der Stammfunktion von $\arcsec(x)$

\begin{align*} \int{\arcsec(x)\ dx} &= \int{1 \cdot \arcsec(x)\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \arcsec(x) - \int{x \cdot \frac{1}{|x| \cdot \sqrt{x^2-1}}\ dx} \end{align*}

Die Betragsfunktion $|x|$ ist nicht elementar integrierbar – sie muss mittels Fallunterscheidung vor dem Integrieren aufgelöst werden. Da die Funktion $\arcsec$ nur für $x$ mit $x^2 \geq 1$ definiert ist, werden die Fälle $x \leq -1$ sowie $x \geq 1$ unterschieden:

  • $x \geq 1$:
    \begin{align*} \int{\arcsec(x)\ dx} &= x \cdot \arcsec(x) - \int{x \cdot \frac{1}{|x| \cdot \sqrt{x^2-1}}\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \arcsec(x) - \int{x \cdot \frac{1}{x \cdot \sqrt{x^2-1}}\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \arcsec(x) - \int{\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ dx} \end{align*}
  • $x \leq -1$:
    \begin{align*} \int{\arcsec(x)\ dx} &= x \cdot \arcsec(x) - \int{x \cdot \frac{1}{|x| \cdot \sqrt{x^2-1}}\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \arcsec(x) - \int{x \cdot \frac{1}{-x \cdot \sqrt{x^2-1}}\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \arcsec(x) + \int{\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ dx} \end{align*}

In beiden Fällen muss $\displaystyle\int{\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ dx}$ bestimmt werden. Hierzu wird zunächst der Integrant mit $\dfrac{x + \sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1} + x}$ ($ = 1$) multipliziert:

\begin{align*} \int{\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ dx} &= \int{\frac{\frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \cdot \left( x+ \sqrt{x^2-1} \right)}{\sqrt{x^2-1} + x} \ dx} \\[0.75em] &= \int{\frac{\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} + \frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1}}}{\sqrt{x^2-1} + x} \ dx} \\[0.75em] &= \int{\frac{\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} + 1}{\sqrt{x^2-1} + x} \ dx} \\[0.75em] &= \int{\frac{1}{\sqrt{x^2-1} + x} \cdot \left( \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} + 1 \right) \ dx} \end{align*}

Anschließend wird mit $t = \sqrt{x^2-1} + x$ substituiert. Aus $t = \sqrt{x^2-1} + x$ folgt $dt = \left( \dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}} + 1 \right)\ dx$.

\begin{align*} \int{\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ dx} &= \int{\frac{1}{t}\ dt} \\[0.75em] &= \ln(t) \\[0.75em] &= \ln\left( \sqrt{x^2-1} + x \right) \end{align*}

Die Kombination der beiden Fälle ergibt:

\[ \int{\arcsec(x)\ dx} = \begin{cases} x \cdot \arcsec(x) - \ln\left( \sqrt{x^2-1} + x \right) & (\text{für } x \geq 1) \\[0.75em] x \cdot \arcsec(x) + \ln\left( \sqrt{x^2-1} + x \right) & (\text{für } x \leq -1) \end{cases} \]

Für $x \leq -1$ gilt $\sqrt{x^2-1} + x \le 0$. Der Ausdruck $\ln\left( \sqrt{x^2-1} + x \right)$ ist für $x \leq -1$ folglich nicht definiert – die Lösung für $x \leq -1$ entfällt.

Als Gesamtlösung ergibt sich:

\[ \int{\arcsec(x)\ dx} = x \cdot \arcsec(x) - \ln\left( \sqrt{x^2-1} + x \right) \quad (\text{für } x \geq 1) \]

Herleitung der Stammfunktion von $\arcsec^{-1}(x)$

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Herleitung der Stammfunktion von $\arcsec^n(x)$

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Herleitung der Stammfunktion von $\arcsec^{-n}(x)$

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