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Ableitungsregel für Arkussekans

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Herleitung

Es sei $y = \arcsec(x)$. Gemäß Definition von $\arcsec$ gilt $x = \sec(y)$ und es folgt:

\begin{align*} x &= \sec(y) \\[0.75em] &= \frac{1}{\cos(y)} \\[0.75em] \frac{d}{dx}\Bigl[ x \Bigr] &= \frac{d}{dx}\Bigl[ \frac{1}{\cos(y)} \Bigr] \\[0.75em] 1 &= \frac{\sin(y)}{\cos^2(y)} \cdot \frac{d}{dx}\Bigl[ y \Bigr] \\[0.75em] \frac{d}{dx}\Bigl[ y \Bigr] &= \frac{\cos^2(y)}{\sin(y)} \end{align*}

Unter Verwendung der Identität $\sin^2(y) + \cos^2(y) = 1$ folgt:

\begin{align*} \sin^2(y) & = 1 - \cos^2(y) \\[0.75em] \sin(y) &= \pm \sqrt{1 - \cos^2(y)} \end{align*}

Gemäß der Definition des $\arcsec$ gilt $0 \leq y \leq \pi$ und folglich $\sin(y) \geq 0$, weswegen nur die positive Lösung der Wurzel relevant ist.

\sin(y) = \sqrt{1 - \cos^2(y)}

Einsetzen in die vorherige Rechnung liefert die gesuchte Formel für die Ableitung des $\arcsec$:

\begin{align*} \frac{d}{dx}\Bigl[ y \Bigr] &= \frac{\cos^2(y)}{\sin(y)} \\[0.75em] &= \frac{\cos^2(y)}{\sqrt{1 - \cos^2(y)}} \\[0.75em] &= \frac{1}{\sec^2(y) \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{\sec^2(y)}}} \\[0.75em] &= \frac{1}{x^2 \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} \end{align*}