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Ableitungsregel für Arkussinus
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Herleitung
Es sei $y = \arcsin(x)$. Gemäß Definition von $\arcsin$ gilt $x = \sin(y)$ und es folgt:
\begin{align*} x &= \sin(y) \\[0.75em] \frac{d}{dx}\Bigl[ x \Bigr] &= \frac{d}{dx}\Bigl[ \sin(y) \Bigr] \\[0.75em] 1 &= \cos(y) \cdot \frac{d}{dx}\Bigl[ y \Bigr] \\[0.75em] \frac{d}{dx}\Bigl[ y \Bigr] &= \frac{1}{\cos(y)} \end{align*}
Unter Verwendung der Identität $\sin^2(y) + \cos^2(y) = 1$ folgt:
\begin{align*} \cos^2(y) & = 1 - \sin^2(y) \\[0.75em] \cos(y) &= \pm \sqrt{1 - \sin^2(y)} \end{align*}
Gemäß der Definition des $\arcsin$ gilt $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$ und folglich $\cos(y) \geq 0$, weswegen nur die positive Lösung der Wurzel relevant ist.
\[ \cos(y) = \sqrt{1 - \sin^2(y)} \]
Einsetzen in die vorherige Rechnung liefert die gesuchte Formel für die Ableitung des $\arcsin$:
\begin{align*} \frac{d}{dx}\Bigl[ y \Bigr] &= \frac{1}{\cos(y)} \\[0.75em] &= \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2(y)}} \\[0.75em] &= \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \end{align*}