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Integrationsregel für Arkustangens
Inhalt
Herleitung der Stammfunktion von $\arctan(x)$
\begin{align*} \int{\arctan(x)\ dx} &= \int{1 \cdot \arctan(x)\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \arctan(x) - \int{x \cdot \frac{1}{x^2+1}\ dx} \end{align*}
Substitution von $t = x^2+1$. Aus $t = x^2+1$ folgt $2x\ dx = dt$.
\begin{align*} \int{x \cdot \frac{1}{x^2+1}\ dx} &= \frac{1}{2} \cdot \int{\frac{1}{x^2+1} \cdot 2x\ dx} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \int{\frac{1}{t}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \ln(t) \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \ln\left(x^2+1\right) \end{align*}
Es folgt:
\begin{align*} \int{\arctan(x)\ dx} &= x \cdot \arctan(x) - \frac{1}{2} \cdot \ln(x^2+1) \end{align*}
Herleitung der Stammfunktion von $\arctan^{-1}(x)$
N/A
Herleitung der Stammfunktion von $\arctan^n(x)$
N/A
Herleitung der Stammfunktion von $\arctan^{-n}(x)$
N/A