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Ableitungsregel für Arkustangens

Inhalt

Herleitung

Es sei $y = \arctan(x)$. Gemäß Definition von $\arctan$ gilt $x = \tan(y)$ und es folgt:

\begin{align*} x &= \tan(y) \\[0.75em] \frac{d}{dx}\Bigl[ x \Bigr] &= \frac{d}{dx}\Bigl[ \tan(y) \Bigr] \\[0.75em] 1 &= \Bigl( 1 + \tan^2(y) \Bigr) \cdot \frac{d}{dx}\Bigl[ y \Bigr] \\[0.75em] \frac{d}{dx}\Bigl[ y \Bigr] &= \frac{1}{1 + \tan^2(y)} \\[0.75em] &= \frac{1}{1 + x^2} \end{align*}