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Areakosekans hyperbolicus (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Areakosekans-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: arcsch, acsch) lässt sich mithilfe von partieller Integration und Integration durch Substitution bestimmen. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Herleitung der Stammfunktion, demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen und beschäftigt sich mit den Integrationsregeln für ganzzahlige Potenzen der Areakosekans-hyperbolicus-Funktion.

Grundlagen

Die Areakosekans-hyperbolicus-Funktion ist eine der Areafunktionen. Sie kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \neq 0$ als Umkehrfunktion der Kosekans-hyperbolicus-Funktion formal wie folgt definiert werden (mit $y \in \R$ und $y \neq 0$):

\[ \arcsch(x) = y \iff \csch(y) = x. \]

Integrationsregel

Die Stammfunktion der Areakosekans-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: arcsch, acsch) ist für alle $x \in \R$ mit $x \neq 0$ wie folgt definiert:

\[ \int{\arcsch(x)\ dx} = x \cdot \arcsch(x) + \arsinh(|x|) + \mathcal{C} \]

Hinweis: Bei $\mathcal{C}$ handelt es sich wie üblich um die Integrationskonstante. Für Potenzen der Areakosekans-hyperbolicus-Funktion mit positiven ganzzahligen Exponenten $n \gt 1$ sowie für Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten $n \leq -1$ existieren keine geschlossenen Integrationsregeln – diese sind nicht elementar integrierbar.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Areakosekans-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ f(x) = \arcsch(3x) \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $f(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=3x$ substituiert, woraus sich $dt = 3\ dx$ bzw. $dx = \frac{1}{3}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{f(x)\ dx} &= \int{\arcsch(3x)\ dx} \\[0.75em] &= \int{\arcsch(t) \cdot \frac{1}{3}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{3} \cdot \int{\arcsch(t)\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{3} \cdot \bigl( t \cdot \arcsch(t) + \arsinh(|t|) \bigr) \\[0.75em] &= \frac{1}{3} \cdot \bigl( 3x \cdot \arcsch(3x) + \arsinh(|3x|) \bigr) \\[0.75em] &= x \cdot \arcsch(3x) + \frac{1}{3} \cdot \arsinh(|3x|) + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Areakosekans-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ g(x) = \arcsch\bigl(x^2+1\bigr) \cdot x \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $g(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=x^2+1$ substituiert, woraus sich $dt = 2x\ dx$ bzw. $x\ dx = \frac{1}{2}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{g(x)\ dx} &= \int{\arcsch\bigl(x^2+1\bigr) \cdot x\ dx} \\[0.75em] &= \int{\arcsch(t) \cdot \frac{1}{2}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \int{\arcsch(t)\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \bigl( t \cdot \arcsch(t) + \arsinh(|t|) \bigr) \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \Bigl( \bigl(x^2+1\bigr) \cdot \arcsch\bigl(x^2+1\bigr) + \arsinh\bigl(|x^2+1|\bigr) \Bigr) \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \bigl(x^2+1\bigr) \cdot \arcsch\bigl(x^2+1\bigr) + \frac{1}{2} \cdot \arsinh\bigl(x^2+1\bigr) + \mathcal{C} \end{align*}

Herleitung der Integrationsregel von arcsch(x)

Die Herleitung der Integrationsregel bzw. der Stammfunktion der Areakosekans-hyperbolicus-Funktion erfolgt mithilfe von partieller Integration und Integration durch Substitution. Es gilt:

\begin{align*} \int{\arcsch(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{1 \cdot \arcsch(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} x \cdot \arcsch(x) - \int{x \cdot \left( -\frac{1}{|x| \cdot \sqrt{1+x^2}} \right)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} x \cdot \arcsch(x) + \int{x \cdot \frac{1}{|x| \cdot \sqrt{1+x^2}}\ dx} \\[0.75em] \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Umschreiben von $\arcsch(x)$ als Produkt $1 \cdot \arcsch(x)$, um partielle Integration anwenden zu können
(2)
  • Anwenden von partieller Integration mit
    \begin{align*} u' &= 1 \\[0.75em] v &= \arcsch(x) \end{align*}
  • Mithilfe der Ableitungsregel der Areakosekans-hyperbolicus-Funktion ergibt sich:
    \begin{align*} u &= x \\[0.75em] v' &= -\frac{1}{|x| \cdot \sqrt{1+x^2}} \end{align*}
  • Es gilt $\int{u'v} = uv - \int{uv'}$
(3)

Da die Betragsfunktion nicht elementar integrierbar ist, muss der Betrag vor dem Integrieren aufgelöst werden. Da die Areakosekans-Funktion für $x \neq 0$ definiert ist, werden die Fälle $x \lt 0$ und $x \gt 0$ unterschieden, für die der Betrag sauber aufgelöst werden kann.

Fall 1: x > 0

Für $x \gt 0$ kann der Betrag sauber aufgelöst und das Integral anschließend mithilfe von Integration durch Substitution bestimmt werden.

\begin{align*} \int{\arcsch(x)\ dx} &\overset{(4)}{=} x \cdot \arcsch(x) + \int{x \cdot \frac{1}{x \cdot \sqrt{1+x^2}}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} x \cdot \arcsch(x) + \int{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} x \cdot \arcsch(x) + \int{\frac{1}{\sqrt{1+\sinh^2(t)}} \cdot \cosh(t)\ dt} \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} x \cdot \arcsch(x) + \int{\frac{1}{\sqrt{\cosh^2(t)}} \cdot \cosh(t)\ dt} \\[0.75em] &\overset{(8)}{=} x \cdot \arcsch(x) + \int{\frac{1}{\cosh(t)} \cdot \cosh(t)\ dt} \\[0.75em] &\overset{(9)}{=} x \cdot \arcsch(x) + \int{1\ dt} \\[0.75em] &\overset{(10)}{=} x \cdot \arcsch(x) + t \\[0.75em] &\overset{(11)}{=} x \cdot \arcsch(x) + \arsinh(x) + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(4)
  • Auflösen des Betrags
  • Es gilt $|x| = x$ wegen $x \gt 0$
(5)
  • Kürzen von $x$
(6)
  • Anwenden von Integration durch Substitution, genauer: hyperbolische Substitution
  • Ersetzen von $x = \sinh(t)$
  • Aus $x = \sinh(t)$ folgt $t = \arsinh(x)$
  • Mithilfe der Ableitungsregel der Sinus-hyperbolicus-Funktion ergibt sich:
    \[ dx = \cosh(t)\ dt \]
(7)
  • Ersetzen von $1 + \sinh^2(t)$ durch $\cosh^2(t)$ mithilfe der hyperbolischen Identität $\cosh^2(t) - \sinh^2(t) = 1$
(8)
  • Auflösen der Wurzel.
  • Es gilt $\sqrt{\cosh^2(t)} = \left|\cosh(t)\right|$;
  • Auflösen des Betrags mithilfe der Eigenschaft $\cosh(t) \geq 0$ für $t \in \R$
(9)
  • Kürzen von $\cosh(t)$
(10)
  • Auflösen des Integrals
(11)
  • Resubstitution
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Fall 2: x < 0

Für $x \lt 0$ kann der Betrag sauber aufgelöst und das Integral anschließend mithilfe von Integration durch Substitution bestimmt werden. Die Umformungen in den Schritten (6) - (11) entsprechen exakt den Umformungen in Fall 1.

\begin{align*} \int{\arcsch(x)\ dx} &\overset{(4)}{=} x \cdot \arcsch(x) + \int{x \cdot \frac{1}{-x \cdot \sqrt{1+x^2}}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} x \cdot \arcsch(x) - \int{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\ dx} \\[0.75em] &\ \ \vdots \\[0.75em] &\overset{(11)}{=} x \cdot \arcsch(x) - \arsinh(x) \\[0.75em] &\overset{(12)}{=} x \cdot \arcsch(x) + \arsinh(-x) + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(4)
  • Auflösen des Betrags
  • Es gilt $|x| = -x$ wegen $x \lt 0$
(5)
(6)-(11)
  • Analog zu Fall 1
(12)

Zusammenführung beider Fälle

Als Gesamtlösung ergibt sich somit zunächst die folgende Fallunterscheidung:

\[ \int{\arcsch(x)\ dx} = \begin{cases} x \cdot \arcsch(x) + \arsinh(x) + \mathcal{C} &(\text{für } x \gt 0) \\[0.75em] x \cdot \arcsch(x) + \arsinh(-x) + \mathcal{C} &(\text{für } x \lt 0) \end{cases} \]

Für $x \gt 0$ gilt $x = |x|$; für $x \lt 0$ gilt analog $-x = |x|$. Mithilfe der Betragsfunktion können beide Fälle somit wie folgt zusammengefasst werden:

\[ \int{\arcsch(x)\ dx} = x \cdot \arcsch(x) + \arsinh(|x|) + \mathcal{C} \]

Herleitung der Integrationsregel von arcschn(x) für n > 1 und n ≤ -1

Für positive ganzzahlige Exponenten $n \gt 1$ sowie für negative ganzzahlige Exponenten $n \leq -1$ können Potenzen der Areakosekans-hyperbolicus-Funktion nicht integriert werden. Es existiert weder eine explizite Integrationsregel noch eine Rekursionsformel. Partielle Integration führt stets zu Integralen, die nicht elementar integrierbar sind.

Die Nicht-Integrierbarkeit ist ein bekanntes Resultat der Differentialalgebra und kann beispielsweise mithilfe des Risch-Algorithmus formal bewiesen werden.