Nachlesen
Integrationsregel für Areakosekans hyperbolicus
Inhalt
Herleitung der Stammfunktion von $\arcsch(x)$
\begin{align*} \int{\arcsch(x)\ dx} &= \int{1 \cdot \arcsch(x)\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \arcsch(x) - \int{x \cdot \frac{-1}{x^2 \cdot \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1}}\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \arcsch(x) + \int{\frac{1}{x \cdot \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1}}\ dx} \\[0.75em] \end{align*}
Zur Bestimmung von $\displaystyle\int{\frac{1}{x \cdot \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1}}\ dx}$ wird die Substitution $\frac{1}{x} = \sinh(t)$ verwendet. Aus $\frac{1}{x} = \sinh(t)$ folgt $dx = -\sinh^{-2}(t) \cdot \cosh(t)\ dt$. Es werden die Identitäten $\cosh^2(t) - \sinh^2(t) = 1$ und $\cosh\left( \arsinh(x) \right) = \sqrt{x^2 + 1}$ verwendet.
\begin{align*} \int{\frac{1}{x \cdot \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1}}\ dx} &= -\int{\frac{\sinh(t)}{\sqrt{\sinh^2(t) + 1}} \cdot \frac{\cosh(t)}{\sinh^2(t)}\ dt} \\[0.75em] &= -\int{\frac{\sinh(t) \cdot \cosh(t)}{\sqrt{\cosh^2(t)} \cdot \sinh^2(t)}\ dt} \\[0.75em] &= -\int{\frac{\cosh(t)}{\cosh(t) \cdot \sinh(t)}}\ dt \\[0.75em] &= -\int{\frac{1}{\sinh(t)}\ dt} \\[0.75em] &= -\left( \frac{1}{2} \ln \left( \cosh(t) - 1 \right) - \frac{1}{2} \ln \left( \cosh(t) + 1 \right) \right) \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \ln \left( \cosh(t) + 1 \right) - \frac{1}{2} \ln \left( \cosh(t) - 1 \right) \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \ln \left( \cosh \left( \arsinh \left( \frac{1}{x} \right) \right) + 1 \right) - \frac{1}{2} \ln \left( \cosh \left( \arsinh \left( \frac{1}{x} \right) \right) - 1 \right) \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \ln \left( \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1} + 1 \right) - \frac{1}{2} \ln \left( \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1} - 1 \right) \end{align*}
Einsetzen in $\int{\arcsch(x)\ dx}$ ergibt das Gesamtergebnis:
\[ \int{\arcsch(x)\ dx} = x \cdot \arcsch(x) + \frac{1}{2} \ln \left( \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1} + 1 \right) - \frac{1}{2} \ln \left( \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1} - 1 \right) \]
Herleitung der Stammfunktion von $\arcsch^{-1}(x)$
N/A
Herleitung der Stammfunktion von $\arcsch^n(x)$
N/A
Herleitung der Stammfunktion von $\arcsch^{-n}(x)$
N/A