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Ableitungsregel für Areakosekans hyperbolicus
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Herleitung
Die Bestimmung der Ableitung von $\arcsch(x)$ wird ausgehend von der Definition $\arcsch(x) = \ln \left( \dfrac{1}{x} + \sqrt{\dfrac{1}{x^2} + 1} \right)$ vorgenommen.
Es gilt:
\begin{align*} {\Bigl[ \arcsch(x) \Bigr]}' &= {\left[ \ln \left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1} \right) \right]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1}} \cdot {\left[ \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1} \right]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1}} \cdot \left( \frac{-1}{x^2} + \frac{1}{2 \cdot \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1}} \cdot {\left[ \frac{1}{x^2} + 1 \right]}' \right) \\[0.75em] &= \frac{1}{\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1}} \cdot \left( \frac{-1}{x^2} + \frac{1}{2 \cdot \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1}} \cdot \frac{-2}{x^3} \right) \\[0.75em] &= \frac{\frac{-1}{x^2} + \frac{-1}{x^3 \cdot \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1}}}{\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1}} \\[0.75em] &= \frac{\frac{-x \cdot \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1} - 1}{x^3 \cdot \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1}}}{\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1}} \\[0.75em] &= \frac{-x \cdot \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1} - 1}{\left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1} \right) \cdot x^3 \cdot \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1}} \\[0.75em] &= \frac{-\left( x \cdot \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1} + 1 \right)}{\left( 1 + x \cdot \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1} \right) \cdot x^2 \cdot \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1}} \\[0.75em] &= \frac{-1}{x^2 \cdot \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1}} \end{align*}