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Areakosinus hyperbolicus (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Areakosinus-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: arcosh, acosh) lässt sich mithilfe von partieller Integration bestimmen. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Herleitung der Stammfunktion, demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen und beschäftigt sich mit den Integrationsregeln für ganzzahlige Potenzen der Areakosinus-hyperbolicus-Funktion.

Grundlagen

Die Areakosinus-hyperbolicus-Funktion ist eine der Areafunktionen. Sie kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \geq 1$ als Umkehrfunktion der Kosinus-hyperbolicus-Funktion formal wie folgt definiert werden (mit $y \in \R$ und $y \geq 0$):

\[ \arcosh(x) = y \iff \cosh(y) = x. \]

Integrationsregel

Die Stammfunktion der Areakosinus-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: arcosh, acosh) ist für alle $x \in \R$ mit $x \geq 1$ wie folgt definiert:

\[ \int{\arcosh(x)\ dx} = x \cdot \arcosh(x) - \sqrt{x^2 - 1} + \mathcal{C} \]

Für Potenzen der Areakosinus-hyperbolicus-Funktion mit positiven ganzzahligen Exponenten $n \gt 1$ existiert darüber hinaus die folgende Integrationsregel:

\begin{align*} \int{\arcosh^n(x)\ dx} &= x \cdot \arcosh^n(x) - n \cdot \sqrt{x^2-1} \cdot \arcosh^{n-1}(x) \\[0.5em] &\qquad {} + n \cdot (n-1) \cdot \int{\arcosh^{n-2}(x)\ dx} \end{align*}

Hinweis: Bei $\mathcal{C}$ handelt es sich wie üblich um die Integrationskonstante. Für Potenzen der Areakosinus-hyperbolicus-Funktion mit negativen ganzzahligen Exponenten $n \leq -1$ existiert keine geschlossene Integrationsregel – diese sind nicht elementar integrierbar.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Areakosinus-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ f(x) = \arcosh(9x) \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $f(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=9x$ substituiert, woraus sich $dt = 9\ dx$ bzw. $dx = \frac{1}{9}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{f(x)\ dx} &= \int{\arcosh(9x)\ dx} \\[0.75em] &= \int{\arcosh(t) \cdot \frac{1}{9}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{9} \cdot \int{\arcosh(t)\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{9} \cdot \left( t \cdot \arcosh(t) - \sqrt{t^2 - 1} \right) \\[0.75em] &= \frac{1}{9} \cdot \left( 9x \cdot \arcosh(9x) - \sqrt{{(9x)}^2 - 1} \right) \\[0.75em] &= x \cdot \arcosh(9x) - \frac{1}{9} \cdot \sqrt{81x^2 - 1} + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Areakosinus-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ g(x) = \arcosh\left(x^2+5\right) \cdot x \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $g(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=x^2+5$ substituiert, woraus sich $dt = 2x\ dx$ bzw. $x\ dx = \frac{1}{2}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{g(x)\ dx} &= \int{\arcosh\left(x^2+5\right) \cdot x\ dx} \\[0.75em] &= \int{\arcosh(t) \cdot \frac{1}{2}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \int{\arcosh(t)\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( t \cdot \arcosh(t) - \sqrt{t^2 - 1} \right) \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( \left(x^2+5\right) \cdot \arcosh\bigl(x^2+5\bigr) - \sqrt{{\left(x^2+5\right)}^2 - 1} \right) \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \left(x^2+5\right) \cdot \arcosh\bigl(x^2+5\bigr) - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x^4+10x^2+24} + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 3

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Areakosinus-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ h(x) = \arcosh^2(x) \]

Die Funktion $\arcosh^2(x)$ kann nicht unmittelbar integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Das Integral kann jedoch durch Anwenden der Rekursionsformel für $n \gt 1$ zunächst umgeformt (bzw. vereinfacht) und anschließend aufgelöst werden, nachdem der Exponent auf $0$ reduziert wurde. Es gilt:

\begin{align*} \int{h(x)\ dx} &\overset{\phantom{(n=2)}}{=} \int{\arcosh^2(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(n=2)}{=} x \cdot \arcosh^2(x) - 2 \cdot \sqrt{x^2-1} \cdot \arcosh(x) + 2 \cdot 1 \cdot \int{\arcosh^0(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(n=0)}{=} x \cdot \arcosh^2(x) - 2 \cdot \sqrt{x^2-1} \cdot \arcosh(x) + 2 \cdot \int{1\ dx} \\[0.75em] &\overset{\phantom{(n=0)}}{=} x \cdot \arcosh^2(x) - 2 \cdot \sqrt{x^2-1} \cdot \arcosh(x) + 2x + \mathcal{C} \end{align*}

Herleitung der Integrationsregel von arcosh(x)

Die Herleitung der Integrationsregel bzw. der Stammfunktion der Areakosinus-hyperbolicus-Funktion erfolgt mithilfe von partieller Integration. Es gilt:

\begin{align*} \int{\arcosh(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{1 \cdot \arcosh(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} x \cdot \arcosh(x) - \int{x \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} x \cdot \arcosh(x) - \int{\left( \frac{1}{\sqrt{t}} \right) \cdot \frac{1}{2}\ dt} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} x \cdot \arcosh(x) - \int{\frac{1}{2 \cdot \sqrt{t}}\ dt} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} x \cdot \arcosh(x) - \sqrt{t} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} x \cdot \arcosh(x) - \sqrt{x^2-1} + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Umschreiben von $\arcosh(x)$ als Produkt $1 \cdot \arcosh(x)$, um partielle Integration anwenden zu können
(2)
  • Anwenden von partieller Integration mit
    \begin{align*} u' &= 1 \\[0.75em] v &= \arcosh(x) \end{align*}
  • Mithilfe der Ableitungsregel der Areakosinus-hyperbolicus-Funktion ergibt sich:
    \begin{align*} u &= x \\[0.75em] v' &= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \end{align*}
  • Es gilt $\int{u'v} = uv - \int{uv'}$
(3)
  • Anwenden von Integration durch Substitution
  • Ersetzen von $t = x^2 - 1$
  • Mithilfe der Ableitungsregel für Potenzen ergibt sich:
    \begin{align*} dt &= 2x\ dx \\[0.75em] x\ dx &= \frac{1}{2}\ dt \end{align*}
(4)
  • Zusammenfassen des Terms im Integral
(5)
(6)
  • Resubstitution von $t = x^2-1$
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Herleitung der Integrationsregel von arcoshn(x) für n > 1

Für positive ganzzahlige Exponenten $n \gt 1$ können Potenzen der Areakosinus-hyperbolicus-Funktion nicht direkt integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Stattdessen kann eine Rekursionsformel hergeleitet werden, die das Integral $\int{\arcosh^n(x)\ dx}$ auf das einfachere Integral $\int{\arcosh^{n-2}(x)\ dx}$ zurückführt. Die Herleitung erfolgt mithilfe von partieller Integration.

\begin{align*} \int{\arcosh^n(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{\arcosh(x) \cdot \arcosh^{n-1}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \left( x \cdot \arcosh(x) - \sqrt{x^2-1} \right) \cdot \arcosh^{n-1}(x) \\[0.5em] &\qquad {} - \int{\left( x \cdot \arcosh(x) - \sqrt{x^2-1} \right) \cdot (n-1) \cdot \arcosh^{n-2}(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} x \cdot \arcosh(x) \cdot \arcosh^{n-1}(x) - \sqrt{x^2-1} \cdot \arcosh^{n-1}(x) \\[0.5em] &\qquad {} - (n-1) \cdot \left( \int{\frac{x \cdot \arcosh(x) \cdot \arcosh^{n-2}(x)}{\sqrt{x^2-1}}\ dx} - \int{\frac{\sqrt{x^2-1} \cdot \arcosh^{n-2}(x)}{\sqrt{x^2-1}}\ dx} \right) \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} x \cdot \arcosh^n(x) - \sqrt{x^2-1} \cdot \arcosh^{n-1}(x) \\[0.5em] &\qquad {} - (n-1) \cdot \int{\frac{x \cdot \arcosh^{n-1}(x)}{\sqrt{x^2-1}}\ dx} + (n-1) \cdot \int{\arcosh^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} x \cdot \arcosh^n(x) - \sqrt{x^2-1} \cdot \arcosh^{n-1}(x) \\[0.5em] &\qquad {} - (n-1) \cdot \left( x \cdot \frac{1}{n} \cdot \arcosh^n(x) - \frac{1}{n} \cdot \int{\arcosh^n(x)\ dx} \right) + (n-1) \cdot \int{\arcosh^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \frac{1}{n} \cdot x \cdot \arcosh^n(x) - \sqrt{x^2-1} \cdot \arcosh^{n-1}(x) \\[0.5em] &\qquad {} + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\arcosh^n(x)\ dx} + (n-1) \cdot \int{\arcosh^{n-2}(x)\ dx} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Umschreiben von $\arcosh^n(x)$ zu $\arcosh(x) \cdot \arcosh^{n-1}(x)$ mithilfe von Potenzgesetz I-a
(2)
(3)
(4)
  • Zusammenfassen von $\arcosh(x) \cdot \arcosh^{n-1}(x)$ zu $\arcosh^n(x)$ mithilfe von Potenzgesetz I-a
  • Zusammenfassen von $\arcosh(x) \cdot \arcosh^{n-2}(x)$ zu $\arcosh^{n-1}(x)$ mithilfe von Potenzgesetz I-a
  • Kürzen von $\sqrt{x^2-1}$
  • Auflösen der Klammern
(5)
  • Umformen des Integrals $\int{\frac{x \cdot \arcosh^{n-1}(x)}{\sqrt{x^2-1}}\ dx}$ durch partielle Integration mit
    \begin{align*} u &= x \\[0.75em] v' &= \frac{\arcosh^{n-1}(x)}{\sqrt{x^2-1}} \end{align*}
  • Mithilfe der Ableitungsregel für Potenzen, der Integrationsregel der Potenzfunktion, der Umkehrung der Ableitungsregel der Areakosinus-hyperbolicus-Funktion und der Umkehrung der Kettenregel ergibt sich:
    \begin{align*} u' &= 1 \\[0.75em] v &= \frac{1}{n} \cdot \arcosh^n(x) \end{align*}
  • Es folgt
    \begin{align*} \int{uv'} &= uv - \int{u'v} \\[0.75em] &= x \cdot \frac{1}{n} \cdot \arcosh^n(x) \\[0.75em] &\qquad {} - \frac{1}{n} \cdot \int{\arcosh^n(x)\ dx} \end{align*}
(6)
  • Ausmultiplizieren der Klammer
  • Zusammenfassen der Konstanten
  • Zusammenfassen der $x \cdot \arcosh^n(x)$ Terme

In der gefundenen Formel taucht das Integral $\int{\arcosh^n(x)\ dx}$ auf beiden Seiten mit unterschiedlicher Vielfachheit auf. Abschließendes Umstellen nach dem Integral liefert die gesuchte Rekursionsformel:

\begin{align*} \int{\arcosh^n(x)\ dx} - \frac{n-1}{n} \cdot \int{\arcosh^n(x)\ dx} &\overset{(7)}{=} \frac{1}{n} \cdot x \cdot \arcosh^n(x) - \sqrt{x^2-1} \cdot \arcosh^{n-1}(x) \\[0.5em] &\qquad {} + (n-1) \cdot \int{\arcosh^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] \frac{1}{n} \cdot \int{\arcosh^n(x)\ dx} &\overset{(8)}{=} \frac{1}{n} \cdot x \cdot \arcosh^n(x) - \sqrt{x^2-1} \cdot \arcosh^{n-1}(x) \\[0.5em] &\qquad {} + (n-1) \cdot \int{\arcosh^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\arcosh^n(x)\ dx} &\overset{(9)}{=} x \cdot \arcosh^n(x) - n \cdot \sqrt{x^2-1} \cdot \arcosh^{n-1}(x) \\[0.5em] &\qquad {} + n \cdot (n-1) \cdot \int{\arcosh^{n-2}(x)\ dx} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(7)
  • Subtraktion von $\frac{n-1}{n} \cdot \int{\arcosh^n(x)\ dx}$ auf beiden Seiten der Gleichung
(8)
  • Ausklammern von $\int{\arcosh^n(x)\ dx}$ auf der linken Seite mithilfe des Distributivgesetzes.
(9)
  • Multiplikation beider Seiten mit $n$

Die gesuchte Rekursionsformel für $n \gt 1$ lautet damit:

\begin{align*} \int{\arcosh^n(x)\ dx} &= x \cdot \arcosh^n(x) - n \cdot \sqrt{x^2-1} \cdot \arcosh^{n-1}(x) \\[0.5em] &\qquad {} + n \cdot (n-1) \cdot \int{\arcosh^{n-2}(x)\ dx} \end{align*}

Diese Formel führt das Integral $\int{\arcosh^n(x)\ dx}$ auf das Integral $\int{\arcosh^{n-2}(x)\ dx}$ zurück (für $n \gt 1$), dessen Exponent $n-2$ stets kleiner als der ursprüngliche Exponent $n$ ist. Durch wiederholtes Anwenden wird der Exponent schrittweise auf $0$ oder $1$ gebracht. Beide Fälle fungieren als Rekursionsanker bzw. Basisfall, da sie eine bekannte Stammfunktion besitzen – und erlauben somit ein vollständiges Auflösen des Integrals:

\begin{align*} \int{\arcosh(x)\ dx} &= x \cdot \arcosh(x) - \sqrt{x^2-1} + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{\arcosh^0(x)\ dx} &= \int{1\ dx} = x + \mathcal{C} \end{align*}

Herleitung der Integrationsregel von arcoshn(x) für n ≤ -1

Für negative ganzzahlige Exponenten $n \leq -1$ können Potenzen der Areakosinus-hyperbolicus-Funktion nicht integriert werden. Es existiert weder eine explizite Integrationsregel noch eine Rekursionsformel. Partielle Integration führt stets zu Integralen, die nicht elementar integrierbar sind.

Die Nicht-Integrierbarkeit ist ein bekanntes Resultat der Differentialalgebra und kann beispielsweise mithilfe des Risch-Algorithmus formal bewiesen werden.