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Ableitungsregel für Areakosinus hyperbolicus
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Herleitung
Die Bestimmung der Ableitung von $\arcosh(x)$ wird ausgehend von der Definition $\arcosh(x) = \ln\left( x + \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1} \right)$ vorgenommen.
Es gilt:
\begin{align*} {\Bigl[ \arcosh(x) \Bigr]}' &= {\left[ \ln\left( x + \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1} \right) \right]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{x + \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1}} \cdot {\left[ x + \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1} \right]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{x + \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1}} \cdot \left( 1 + \frac{{\left[ x+1 \right]}'}{2 \cdot \sqrt{x+1}} \cdot \sqrt{x-1} + \sqrt{x + 1} \cdot \frac{{\left[ x-1 \right]}'}{2 \cdot \sqrt{x - 1}} \right) \\[0.75em] &= \frac{1}{x + \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1}} \cdot \left( 1 + \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x+1}} \cdot \sqrt{x-1} + \sqrt{x + 1} \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x - 1}} \right) \\[0.75em] &= \frac{1}{x + \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1}} \cdot \left( 1 + \frac{\sqrt{x-1}}{2 \cdot \sqrt{x+1}} + \frac{\sqrt{x + 1}}{2 \cdot \sqrt{x - 1}} \right) \\[0.75em] &= \frac{1}{x + \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1}} \cdot \frac{2 \cdot \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1} + \sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+1}}{2 \cdot \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1}} \\[0.75em] &= \frac{1}{x + \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1}} \cdot \frac{2 \cdot \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1} + (x-1) + (x+1)}{2 \cdot \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1}} \\[0.75em] &= \frac{1}{x + \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1}} \cdot \frac{2 \cdot \left( \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1} + x \right)}{2 \cdot \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1}} \\[0.75em] &= \frac{1}{\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1}} \end{align*}