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Ableitungsregel für Areakotangens hyperbolicus
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Herleitung
Die Bestimmung der Ableitung von $\arcoth(x)$ wird ausgehend von der Definition $\arcoth(x) = \frac{1}{2}\ln\left( 1 + \frac{1}{x} \right) - \frac{1}{2}\ln\left( 1 - \frac{1}{x} \right)$ vorgenommen.
Es gilt:
\begin{align*} {\Bigl[ \arcoth(x) \Bigr]}' &= {\left[ \frac{1}{2}\ln\left( 1 + \frac{1}{x} \right) - \frac{1}{2}\ln\left( 1 - \frac{1}{x} \right) \right]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \cdot {\left[ 1 + \frac{1}{x} \right]}' - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{x}} \cdot {\left[ 1 - \frac{1}{x} \right]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \cdot \frac{-1}{x^2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2} \\[0.75em] &= \frac{-1}{2 \cdot \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \cdot x^2} - \frac{1}{2 \cdot \left( 1 - \frac{1}{x} \right) \cdot x^2}\\[0.75em] &= \frac{- \left( 1 - \frac{1}{x} \right)}{2 \cdot \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \cdot x^2 \cdot \left(1 - \frac{1}{x} \right)} - \frac{1 + \frac{1}{x}}{2 \cdot \left( 1 - \frac{1}{x} \right) \cdot x^2 \cdot \left(1 + \frac{1}{x} \right)} \\[0.75em] &= \frac{- \left( 1 - \frac{1}{x} \right) - \left( 1 - \frac{1}{x} \right)}{2 \cdot \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \cdot x^2 \cdot \left(1 - \frac{1}{x} \right)} \\[0.75em] &= \frac{-2}{2 \cdot x^2 \cdot \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \cdot \left(1 - \frac{1}{x} \right)} \\[0.75em] &= \frac{-1}{x^2 \cdot \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right)} \\[0.75em] &= \frac{-1}{x^2 - 1} \\[0.75em] &= \frac{1}{1 - x^2} \end{align*}