Nachlesen

Areasekans hyperbolicus (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Areasekans-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: arsech, asech) lässt sich mithilfe von partieller Integration und Integration durch Substitution bestimmen. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Herleitung der Stammfunktion, demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen und beschäftigt sich mit den Integrationsregeln für ganzzahlige Potenzen der Areasekans-hyperbolicus-Funktion.

Grundlagen

Die Areasekans-hyperbolicus-Funktion ist eine der Areafunktionen. Sie kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $0 \lt x \leq 1$ als Umkehrfunktion der Sekans-hyperbolicus-Funktion formal wie folgt definiert werden (mit $y \in \R$ und $y \geq 0$):

\arsech(x) = y \iff \sech(y) = x.

Integrationsregel

Die Stammfunktion der Areasekans-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: arsech, asech) ist für alle $x \in \R$ mit $0 \lt x \leq 1$ wie folgt definiert:

\int{\arsech(x)\ dx} = x \cdot \arsech(x) + \arcsin(x) + \mathcal{C}

Hinweis: Bei $\mathcal{C}$ handelt es sich wie üblich um die Integrationskonstante. Für Potenzen der Areasekans-hyperbolicus-Funktion mit positiven ganzzahligen Exponenten $n \gt 1$ sowie für Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten $n \leq -1$ existieren keine geschlossenen Integrationsregeln – diese sind nicht elementar integrierbar.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Areasekans-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

f(x) = \arsech(4x)

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $f(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=4x$ substituiert, woraus sich $dt = 4\ dx$ bzw. $dx = \frac{1}{4}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{f(x)\ dx} &= \int{\arsech(4x)\ dx} \\[0.75em] &= \int{\arsech(t) \cdot \frac{1}{4}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{4} \cdot \int{\arsech(t)\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{4} \cdot \bigl( t \cdot \arsech(t) + \arcsin(t) \bigr) \\[0.75em] &= \frac{1}{4} \cdot \bigl( 4x \cdot \arsech(4x) + \arcsin(4x) \bigr) \\[0.75em] &= x \cdot \arsech(4x) + \frac{1}{4} \cdot \arcsin(4x) + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Areasekans-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

g(x) = \arsech\bigl(x^2\bigr) \cdot x

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $g(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=x^2$ substituiert, woraus sich $dt = 2x\ dx$ bzw. $x\ dx = \frac{1}{2}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{g(x)\ dx} &= \int{\arsech\bigl(x^2\bigr) \cdot x\ dx} \\[0.75em] &= \int{\arsech(t) \cdot \frac{1}{2}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \int{\arsech(t)\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \bigl( t \cdot \arsech(t) + \arcsin(t) \bigr) \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \Bigl( x^2 \cdot \arsech\bigl(x^2\bigr) + \arcsin\bigl(x^2\bigr) \Bigr) \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot x^2 \cdot \arsech\bigl(x^2\bigr) + \frac{1}{2} \cdot \arcsin\bigl(x^2\bigr) + \mathcal{C} \end{align*}

Herleitung der Integrationsregel von arsech(x)

Die Herleitung der Integrationsregel bzw. der Stammfunktion der Areasekans-hyperbolicus-Funktion erfolgt mithilfe von partieller Integration und Integration durch Substitution. Es gilt:

\begin{align*} \int{\arsech(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{1 \cdot \arsech(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} x \cdot \arsech(x) - \int{x \cdot \left( -\frac{1}{x \cdot \sqrt{1-x^2}} \right)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} x \cdot \arsech(x) + \int{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} x \cdot \arsech(x) + \int{\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(t)}} \cdot \cos(t)\ dt} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} x \cdot \arsech(x) + \int{\frac{1}{\sqrt{\cos^2(t)}} \cdot \cos(t)\ dt} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} x \cdot \arsech(x) + \int{\frac{1}{\cos(t)} \cdot \cos(t)\ dt} \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} x \cdot \arsech(x) + \int{1\ dt} \\[0.75em] &\overset{(8)}{=} x \cdot \arsech(x) + t \\[0.75em] &\overset{(9)}{=} x \cdot \arsech(x) + \arcsin(x) + \mathcal{C} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Umschreiben von $\arsech(x)$ als Produkt $1 \cdot \arsech(x)$, um partielle Integration anwenden zu können
(2)	Anwenden von partieller Integration mit $\begin{align} u' &= 1 \\[0.75em] v &= \arsech(x) \end{align}$ Mithilfe der Ableitungsregel der Areasekans-hyperbolicus-Funktion ergibt sich: $\begin{align} u &= x \\[0.75em] v' &= -\frac{1}{x \cdot \sqrt{1-x^2}} \end{align}$ Es gilt $\int{u'v} = uv - \int{uv'}$
(3)	Herausziehen des Faktors $-1$ mithilfe der Faktorregel für Integrale Kürzen von $x$
(4)	Anwenden von Integration durch Substitution, genauer: trigonometrische Substitution Ersetzen von $x = \sin(t)$ Aus $x = \sin(t)$ folgt $t = \arcsin(x)$ Mithilfe der Ableitungsregel der Sinus-Funktion ergibt sich: $dx = \cos(t)\ dt$
(5)	Ersetzen von $1 - \sin^2(t)$ durch $\cos^2(t)$ mithilfe der trigonometrischen Identität $\sin^2(t) + \cos^2(t) = 1$
(6)	Auflösen der Wurzel. Es gilt $\sqrt{\cos^2(t)} = \left\|\cos(t)\right\|$; Auflösen des Betrags wegen $\cos(t) \geq 0$ für $\arcsin(0)=0 \lt t \leq \frac{\pi}{2} = \arcsin(1)$
(7)	Kürzen von $\cos(t)$
(8)	Auflösen des Integrals
(9)	Resubstitution Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Herleitung der Integrationsregel von arsechⁿ(x) für n > 1 und n ≤ -1

Für positive ganzzahlige Exponenten $n \gt 1$ sowie für negative ganzzahlige Exponenten $n \leq -1$ können Potenzen der Areasekans-hyperbolicus-Funktion nicht integriert werden. Es existiert weder eine explizite Integrationsregel noch eine Rekursionsformel. Partielle Integration führt stets zu Integralen, die nicht elementar integrierbar sind.

Die Nicht-Integrierbarkeit ist ein bekanntes Resultat der Differentialalgebra und kann beispielsweise mithilfe des Risch-Algorithmus formal bewiesen werden.