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Areasekans hyperbolicus (Integrationsregel)

Herleitung der Stammfunktion von $\arsech(x)$

\begin{align*} \int{\arcsec(x)\ dx} &= \int{1 \cdot \arsech(x)\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \arsech(x) - \int{x \cdot \frac{-1}{x \cdot \sqrt{1 - x^2}}\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \arsech(x) + \int{\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\ dx} \end{align*}

Zur Bestimmung von $\displaystyle\int{\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\ dx}$ wird die trigonometrische Substitution $x = \sin(t)$ verwendet. Aus $x = \sin(t)$ folgt $dx = \cos(t)\ dt$.

\begin{align*} \int{\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\ dx} &= \int{\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2(t)}} \cdot \cos(t)\ dt} \\[0.75em] &= \int{\frac{1}{\sqrt{\cos^2(t)}} \cdot \cos(t)\ dt} \\[0.75em] &= \int{\frac{1}{\cos(t)} \cdot \cos(t)\ dt} \\[0.75em] &= \int{1\ dt} \\[0.75em] &= t \\[0.75em] &= \arcsin(x) \end{align*}

Einsetzen in $\displaystyle\int{\arsech(x)\ dx}$ liefert als Gesamtergebnis:

\[ \int{\arsech(x)\ dx} = x \cdot \arsech(x) + \arcsin(x) \]

Herleitung der Stammfunktion von $\arsech^{-1}(x)$

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Herleitung der Stammfunktion von $\arsech^n(x)$

N/A

Herleitung der Stammfunktion von $\arsech^{-n}(x)$

N/A