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Ableitungsregel für Areasekans hyperbolicus
Inhalt
Herleitung
Die Bestimmung der Ableitung von $\arsech(x)$ wird ausgehend von der Definition $\arsech(x) = \ln \left( \dfrac{1}{x} + \sqrt{\dfrac{1}{x} + 1} \cdot \sqrt{\dfrac{1}{x} - 1} \right)$ vorgenommen.
Es gilt:
\begin{align*} {\Bigl[ \arsech(x) \Bigr]}' &= {\left[ \ln \left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x} + 1} \cdot \sqrt{\frac{1}{x} - 1} \right) \right]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x} + 1} \cdot \sqrt{\frac{1}{x} - 1}} \cdot {\left[ \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x} + 1} \cdot \sqrt{\frac{1}{x} - 1} \right]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x} + 1} \cdot \sqrt{\frac{1}{x} - 1}} \cdot \left( \frac{-1}{x^2} + \frac{{\left[ \frac{1}{x} + 1 \right]}'}{2 \cdot \sqrt{\frac{1}{x} + 1}} \cdot \sqrt{\frac{1}{x} - 1} + \sqrt{\frac{1}{x} + 1} \cdot \frac{{\left[ \frac{1}{x} - 1\right]}'}{2 \cdot \sqrt{\frac{1}{x} - 1}} \right) \\[0.75em] &= \frac{1}{\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x} + 1} \cdot \sqrt{\frac{1}{x} - 1}} \cdot \left( \frac{-1}{x^2} + \frac{- \sqrt{\frac{1}{x} - 1}}{2x^2 \cdot \sqrt{\frac{1}{x} + 1}} + \frac{-\sqrt{\frac{1}{x} + 1}}{2x^2 \cdot \sqrt{\frac{1}{x} - 1}} \right) \\[0.75em] &= \frac{1}{\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x} + 1} \cdot \sqrt{\frac{1}{x} - 1}} \cdot \frac{-2 \cdot \sqrt{\frac{1}{x} + 1} \cdot \sqrt{\frac{1}{x} - 1} - \sqrt{\frac{1}{x} - 1} \cdot \sqrt{\frac{1}{x} - 1} - \sqrt{\frac{1}{x} + 1} \cdot \sqrt{\frac{1}{x} + 1}}{2x^2 \cdot \sqrt{\frac{1}{x} + 1} \cdot \sqrt{\frac{1}{x} - 1}} \\[0.75em] &= \frac{1}{\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x} + 1} \cdot \sqrt{\frac{1}{x} - 1}} \cdot \frac{-2 \cdot \sqrt{\frac{1}{x} + 1} \cdot \sqrt{\frac{1}{x} - 1} - \left( \frac{1}{x} - 1 \right) - \left( \frac{1}{x} + 1 \right)}{2x^2 \cdot \sqrt{\frac{1}{x} + 1} \cdot \sqrt{\frac{1}{x} - 1}} \\[0.75em] &= \frac{1}{\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x} + 1} \cdot \sqrt{\frac{1}{x} - 1}} \cdot \frac{-2 \cdot \sqrt{\frac{1}{x} + 1} \cdot \sqrt{\frac{1}{x} - 1} - \frac{1}{x} + 1 - \frac{1}{x} - 1}{2x^2 \cdot \sqrt{\frac{1}{x} + 1} \cdot \sqrt{\frac{1}{x} - 1}} \\[0.75em] &= \frac{1}{\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x} + 1} \cdot \sqrt{\frac{1}{x} - 1}} \cdot \frac{-2 \cdot \sqrt{\frac{1}{x} + 1} \cdot \sqrt{\frac{1}{x} - 1} - 2 \cdot \frac{1}{x}}{2x^2 \cdot \sqrt{\frac{1}{x} + 1} \cdot \sqrt{\frac{1}{x} - 1}} \\[0.75em] &= \frac{1}{\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x} + 1} \cdot \sqrt{\frac{1}{x} - 1}} \cdot \frac{-2 \cdot \left( \sqrt{\frac{1}{x} + 1} \cdot \sqrt{\frac{1}{x} - 1} + \frac{1}{x} \right)}{2x^2 \cdot \sqrt{\frac{1}{x} + 1} \cdot \sqrt{\frac{1}{x} - 1}} \\[0.75em] &= \frac{-1}{x^2 \cdot \sqrt{\frac{1}{x} + 1} \cdot \sqrt{\frac{1}{x} - 1}} \\[0.75em] \end{align*}