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Integrationsregel für Areasinus Hyberbolicus

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Herleitung der Stammfunktion von $\arsinh(x)$

\begin{align*} \int{\arsinh(x)\ dx} &= \int{1 \cdot \arsinh(x)\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \arsinh(x) - \int{x \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\ dx} \end{align*}

Substitution von $t = x^2+1$. Aus $t = x^2+1$ folgt $dx = \frac{dt}{2x}$.

\begin{align*} \int{x \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\ dx} &= \int{x \cdot \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{dt}{2x}} \\[0.75em] &= \int{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{t}}\ dt} \\[0.75em] &= \int{\frac{1}{2} \cdot t^{-\frac{1}{2}}\ dt} \\[0.75em] &= t^{\frac{1}{2}} \\[0.75em] &= \sqrt{x^2+1} \end{align*}

Es folgt:

\begin{align*} \int{\arsinh(x)\ dx} &= x \cdot \arsinh(x) - \sqrt{x^2 + 1} \end{align*}

N/A

Partielle Integration:

\begin{align*} \int{\arsinh^n(x)\ dx} &= \int{\arsinh(x) \cdot \arsinh^{n-1}(x)\ dx} \\[0.75em] &= \left( x \cdot \arsinh(x) - \sqrt{x^2 + 1} \right) \cdot \arsinh^{n-1}(x) \\[0.75em] &\qquad - \int{\left( x \cdot \arsinh(x) - \sqrt{x^2 + 1} \right) \cdot (n-1) \cdot \arsinh^{n-2}(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \arsinh^n(x) - \sqrt{x^2 + 1} \cdot \arsinh^{n-1}(x) \\[0.75em] &\qquad - (n-1) \cdot \left( \int{\frac{x \cdot \arsinh(x) \cdot \arsinh^{n-2}(x)}{\sqrt{x^2 + 1}}\ dx} - \int{\frac{\sqrt{x^2 + 1} \cdot \arsinh^{n-2}(x)}{\sqrt{x^2 + 1}}\ dx} \right) \\[0.75em] &= x \cdot \arsinh^n(x) - \sqrt{x^2 + 1} \cdot \arsinh^{n-1}(x) \\[0.75em] &\qquad - (n-1) \cdot \int{\frac{x \cdot \arsinh^{n-1}(x)}{\sqrt{x^2 + 1}}\ dx} + (n-1) \cdot \int{\arsinh^{n-2}(x)\ dx} \end{align*}

Umformung von $(n-1) \cdot \int{\frac{x \cdot \arsinh^{n-1}(x)}{\sqrt{x^2 + 1}}\ dx}$:

\begin{align*} (n-1) \cdot \int{\frac{x \cdot \arsinh^{n-1}(x)}{\sqrt{x^2 + 1}}\ dx} &= \frac{n-1}{n} \cdot \int{\frac{x \cdot n \cdot \arsinh^{n-1}(x)}{\sqrt{x^2 + 1}}\ dx} \\[0.75em] &= \frac{n-1}{n} \cdot \int{x \cdot \frac{n \cdot \arsinh^{n-1}(x)}{\sqrt{x^2 + 1}}\ dx} \\[0.75em] &= \frac{n-1}{n} \cdot \left( x \cdot \arsinh^n(x) - \int{1 \cdot \arsinh^n(x)\ dx} \right) \end{align*}

Einsetzen in das Integral $\int{\arsinh^n(x)\ dx}$:

\begin{align*} \int{\arsinh^n(x)\ dx} &= x \cdot \arsinh^n(x) - \sqrt{x^2 + 1} \cdot \arsinh^{n-1}(x) \\[0.75em] &\qquad - \frac{n-1}{n} \cdot \left( x \cdot \arsinh^n(x) - \int{1 \cdot \arsinh^n(x)\ dx} \right) + (n-1) \cdot \int{\arsinh^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \arsinh^n(x) - \sqrt{x^2 + 1} \cdot \arsinh^{n-1}(x) \\[0.75em] &\qquad - \frac{n-1}{n} \cdot x \cdot \arsinh^n(x) + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\arsinh^n(x)\ dx} + (n-1) \cdot \int{\arsinh^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &= \left( 1 - \frac{n-1}{n} \right) \cdot x \cdot \arsinh^n(x) - \sqrt{x^2 + 1} \cdot \arsinh^{n-1}(x) \\[0.75em] &\qquad + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\arsinh^n(x)\ dx} + (n-1) \cdot \int{\arsinh^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] \end{align*}

Umstellen nach $\int{\arsinh^n(x)\ dx}$:

\begin{align*} \left( 1 - \frac{n-1}{n} \right) \cdot \int{\arsinh^n(x)\ dx} &= \left( 1 - \frac{n-1}{n} \right) \cdot x \cdot \arsinh^n(x) - \sqrt{x^2 + 1} \cdot \arsinh^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \int{\arsinh^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] \frac{1}{n} \cdot \int{\arsinh^n(x)\ dx} &= \frac{1}{n} \cdot x \cdot \arsinh^n(x) - \sqrt{x^2 + 1} \cdot \arsinh^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \int{\arsinh^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\arsinh^n(x)\ dx} &= x \cdot \arsinh^n(x) - n \cdot \sqrt{x^2 + 1} \cdot \arsinh^{n-1}(x) + n \cdot (n-1) \cdot \int{\arsinh^{n-2}(x)\ dx} \end{align*}

N/A