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Areatangens hyperbolicus (Integrationsregel)
Herleitung der Stammfunktion von $\artanh(x)$
\begin{align*} \int{\artanh(x)\ dx} &= \int{1 \cdot \artanh(x)\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \artanh(x) - \int{x \cdot \frac{1}{1 - x^2}\ dx} \end{align*}
Substitution von $t = 1 - x^2$. Aus $t = 1 - x^2$ folgt $-2x\ dx = dt$.
\begin{align*} \int{x \cdot \frac{1}{1 - x^2}\ dx} &= -\frac{1}{2} \cdot \int{\frac{1}{1 - x^2} \cdot \left(-2x\right)\ dx} \\[0.75em] &= -\frac{1}{2} \cdot \int{\frac{1}{t}\ dt} \\[0.75em] &= -\frac{1}{2} \cdot \ln(t) \\[0.75em] &= -\frac{1}{2} \cdot \ln\left(1 - x^2\right) \end{align*}
Es folgt:
\begin{align*} \int{\artanh(x)\ dx} &= x \cdot \artanh(x) + \frac{1}{2} \cdot \ln(1 - x^2) \end{align*}
Herleitung der Stammfunktion von $\artanh^{-1}(x)$
N/A
Herleitung der Stammfunktion von $\artanh^n(x)$
N/A
Herleitung der Stammfunktion von $\artanh^{-n}(x)$
N/A