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Areatangens hyperbolicus (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Areatangens-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: artanh, atanh) lässt sich mithilfe von partieller Integration und Integration durch Substitution bestimmen. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Herleitung der Stammfunktion, demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen und beschäftigt sich mit den Integrationsregeln für ganzzahlige Potenzen der Areatangens-hyperbolicus-Funktion.

Grundlagen

Die Areatangens-hyperbolicus-Funktion ist eine der Areafunktionen. Sie kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $|x| \lt 1$ als Umkehrfunktion der Tangens-hyperbolicus-Funktion formal wie folgt definiert werden (mit $y \in \R$):

\artanh(x) = y \iff \tanh(y) = x.

Integrationsregel

Die Stammfunktion der Areatangens-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: artanh, atanh) ist für alle $x \in \R$ mit $|x| \lt 1$ wie folgt definiert:

\int{\artanh(x)\ dx} = x \cdot \artanh(x) + \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl(1 - x^2\bigr) + \mathcal{C}

Hinweis: Bei $\mathcal{C}$ handelt es sich wie üblich um die Integrationskonstante. Für Potenzen der Areatangens-hyperbolicus-Funktion mit positiven ganzzahligen Exponenten $n \gt 1$ sowie für Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten $n \leq -1$ existieren keine geschlossenen Integrationsregeln – diese sind nicht elementar integrierbar.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Areatangens-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

f(x) = \artanh(2x)

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $f(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=2x$ substituiert, woraus sich $dt = 2\ dx$ bzw. $dx = \frac{1}{2}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{f(x)\ dx} &= \int{\artanh(2x)\ dx} \\[0.75em] &= \int{\artanh(t) \cdot \frac{1}{2}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \int{\artanh(t)\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( t \cdot \artanh(t) + \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl(1-t^2\bigr) \right) \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( 2x \cdot \artanh(2x) + \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl(1-{(2x)}^2\bigr) \right) \\[0.75em] &= x \cdot \artanh(2x) + \frac{1}{4} \cdot \ln\bigl(1-4x^2\bigr) + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Areatangens-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

g(x) = \artanh\bigl(x^2\bigr) \cdot x

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $g(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=x^2$ substituiert, woraus sich $dt = 2x\ dx$ bzw. $x\ dx = \frac{1}{2}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{g(x)\ dx} &= \int{\artanh\bigl(x^2\bigr) \cdot x\ dx} \\[0.75em] &= \int{\artanh(t) \cdot \frac{1}{2}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \int{\artanh(t)\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( t \cdot \artanh(t) + \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl(1-t^2\bigr) \right) \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( x^2 \cdot \artanh\bigl(x^2\bigr) + \frac{1}{2} \cdot \ln\left(1-{\bigl(x^2\bigr)}^2\right) \right) \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot x^2 \cdot \artanh\bigl(x^2\bigr) + \frac{1}{4} \cdot \ln\bigl(1-x^4\bigr) + \mathcal{C} \end{align*}

Herleitung der Integrationsregel von artanh(x)

Die Herleitung der Integrationsregel bzw. der Stammfunktion der Areatangens-hyperbolicus-Funktion erfolgt mithilfe von partieller Integration und Integration durch Substitution. Es gilt:

\begin{align*} \int{\artanh(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{1 \cdot \artanh(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} x \cdot \artanh(x) - \int{x \cdot \frac{1}{1-x^2}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} x \cdot \artanh(x) - \int{\frac{1}{t} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\ dt} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} x \cdot \artanh(x) + \frac{1}{2} \cdot \int{\frac{1}{t}\ dt} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} x \cdot \artanh(x) + \frac{1}{2} \cdot \ln|t| \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} x \cdot \artanh(x) + \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl|1-x^2\bigr| \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} x \cdot \artanh(x) + \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl(1-x^2\bigr) + \mathcal{C} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Umschreiben von $\artanh(x)$ als Produkt $1 \cdot \artanh(x)$, um partielle Integration anwenden zu können
(2)	Anwenden von partieller Integration mit $\begin{align} u' &= 1 \\[0.75em] v &= \artanh(x) \end{align}$ Mithilfe der Ableitungsregel der Areatangens-hyperbolicus-Funktion ergibt sich: $\begin{align} u &= x \\[0.75em] v' &= \frac{1}{1-x^2} \end{align}$ Es gilt $\int{u'v} = uv - \int{uv'}$
(3)	Anwenden von Integration durch Substitution Ersetzen von $t = 1 - x^2$ Mithilfe der Ableitungsregel für Potenzen ergibt sich: $\begin{align} dt &= -2x\ dx \\[0.75em] x\ dx &= -\frac{1}{2}\ dt \end{align}$
(4)	Herausziehen des konstanten Faktors $-\frac{1}{2}$ mithilfe der Faktorregel für Integrale
(5)	Auflösen des Integrals mithilfe der Umkehrung der Ableitungsregel der Logarithmusfunktion
(6)	Resubstitution von $t = 1-x^2$
(7)	Auflösen des Betrags mithilfe der Eigenschaft $1 - x^2 \geq 0$ für $\|x\| \lt 1$ Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Herleitung der Integrationsregel von artanhⁿ(x) für n > 1 und n ≤ -1

Für positive ganzzahlige Exponenten $n \gt 1$ sowie für negative ganzzahlige Exponenten $n \leq -1$ können Potenzen der Areatangens-hyperbolicus-Funktion nicht integriert werden. Es existiert weder eine explizite Integrationsregel noch eine Rekursionsformel. Partielle Integration führt stets zu Integralen, die nicht elementar integrierbar sind.

Die Nicht-Integrierbarkeit ist ein bekanntes Resultat der Differentialalgebra und kann beispielsweise mithilfe des Risch-Algorithmus formal bewiesen werden.