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Ableitungsregel für Areatangens hyperbolicus
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Herleitung
Die Bestimmung der Ableitung von $\artanh(x)$ wird ausgehend von der Definition $\artanh(x) = \frac{1}{2}\ln(1+x) - \frac{1}{2}\ln(1-x)$ vorgenommen.
Es gilt:
\begin{align*} {\Bigl[ \artanh(x) \Bigr]}' &= {\left[ \frac{1}{2}\ln(1+x) - \frac{1}{2}\ln(1-x) \right]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-x} \cdot (-1) \\[0.75em] &= \frac{1-x}{2 \cdot (1+x) \cdot (1-x)} + \frac{x+1}{2 \cdot (1-x) \cdot (x+1)} \\[0.75em] &= \frac{1-x + x+1}{2 \cdot \left( 1 - x^2 \right)} \\[0.75em] &= \frac{2}{2 \cdot \left( 1 - x^2 \right)} \\[0.75em] &= \frac{1}{1 - x^2} \end{align*}