Nachlesen
Faktorregel
Die Faktorregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung, die beschreibt, dass ein konstanter Faktor beim Differenzieren erhalten bleibt.
Definition
Gegeben seien ein Intervall $I$ der reellen Zahlen, eine auf diesem Intervall definierte Funktion $v$ sowie eine reelle Zahl $c$. Ist die Funktion $v$ an einer Stelle $x_0 \in I$ differenzierbar, so ist auch die Funktion $f(x) = c \cdot v(x)$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar und es gilt
\[ f'(x_0) = c \cdot v'(x_0). \]
Oder kurz:
\[ f' = c \cdot v'. \]
Beispiele
Beweis der Faktorregel
Die Faktorregel kann direkt mithilfe des Grenzwerts des Differenzenquotienten hergeleitet werden. Es gilt
\begin{align*} f'(x) &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{c \cdot v(x_0+h) - c \cdot v(x_0)}{h} \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{c \cdot \bigl( v(x_0+h) - v(x_0) \bigr)}{h} \right)} \\[0.75em] &= c \cdot \underbrace{\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{v(x_0+h) - v(x_0)}{h} \right)}}_{=v'(x_0)} \\[0.75em] &= c \cdot v'(x_0) \end{align*}