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Faktorregel (Integrationsregel)

Die Faktorregel ist eine grundlegende Regel der Integralrechnung, die beschreibt, dass ein konstanter Faktor beim Integrieren erhalten bleibt.

Definition

Gegeben seien ein Intervall $[a,b]$ der reellen Zahlen, eine auf diesem Intervall definierte Funktion $v$ sowie eine reelle Zahl $c$. Ist die Funktion $v$ stetig und integrierbar, so ist auch die Funktion $f(x) = c \cdot v(x)$ integrierbar und es gilt

\int{f(x)\ dx} = \int{c \cdot v(x)\ dx} = c \cdot \int{v(x)\ dx}.

Oder kurz:

\int{f} = \int{c \cdot v} = c \cdot \int{v}.

Beispiele

Beweis der Faktorregel

Die Faktorregel kann direkt mithilfe des Grenzwerts der Obersumme hergeleitet werden. Hierzu wird das Intervall $[a,b]$ auf $n$ Teilintervalle aufgeteilt. Das $i$-te Teilintervall sei durch $x_i$ und $x_{i+1}$ (mit $x_i \lt x_{i+1}$) begrenzt. Mit $\xi_i$ sei der größte im Intervall $[x_i, x_{i+1}]$ vorkommende Funktionswert bezeichnet. Dann gilt:

\begin{align*} \int\limits_a^b{\Bigl( c \cdot u(x) \Bigr)\ dx} &= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( \sum\limits_{i=0}^{n-1}{\bigl( x_{i+1}-x_i \bigr) \cdot c \cdot v(\xi_i)} \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( c \cdot \sum\limits_{i=0}^{n-1}{\bigl( x_{i+1}-x_i \bigr) \cdot v(\xi_i)} \right)} \\[0.75em] &= c \cdot \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( \sum\limits_{i=0}^{n-1}{\bigl( x_{i+1}-x_i \bigr) \cdot v(\xi_i)} \right)} \\[0.75em] &= c \cdot \int\limits_a^b{v(x)\ dx} \end{align*}