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Faktorregel (Integrationsregel)

Die Faktorregel ist eine grundlegende Regel der Integralrechnung. Sie besagt, dass ein skalares Vielfaches einer integrierbaren Funktion selbst integrierbar ist. Die Faktorregel besagt zudem, dass das Integral eines skalaren Vielfachen einer Funktion auf das Integral der Funktion zurückgeführt werden kann, indem diese zunächst integriert und anschließend skaliert wird. Der konstante Faktor bzw. das Skalar bleibt beim Integrieren erhalten.

Integrationsregel

Gegeben seien ein Intervall $\mathcal{D}$ der reellen Zahlen sowie eine auf diesem Intervall definierte Funktion $u$. Die Faktorregel der Integralrechnung besagt, dass das skalare Vielfache

f(x) = \lambda \cdot u(x)

der Funktion $u$ auf dem Intervall $\mathcal{D}$ integrierbar ist, falls die Funktion $u$ auf dem Intervall $\mathcal{D}$ integrierbar ist. Das Integral des skalaren Vielfachen kann in diesem Fall auf das Integral der Funktion $u$ zurückgeführt werden; es gilt:

\begin{align*} \int{f(x)\ dx} &= \int{{\lambda \cdot u(x)}\ dx} \\[0.75em] &= \lambda \cdot \int{u(x)\ dx} \end{align*}

In Worten: Das Integral des skalaren Vielfachen entspricht dem skalaren Vielfachen des Integrals. Konstante Faktoren bleiben beim Integrieren erhalten und können in das Integral hinein sowie aus dem Integral heraus gezogen werden.

Hinweis: Dies gilt analog für das bestimmte Integral über einem Intervall $[a, b]$ der reellen Zahlen.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Faktorregel für Integrale bestimmt werden soll:

\[ f(x) = 42 \]

Die Funktion $f(x) = 42$ ist ein skalares Vielfaches der konstanten Funktion $u(x) = 1$. Mithilfe der Faktorregel ergibt sich:

\begin{align*} \int{f(x)\ dx} &= \int{42\ dx} \\[0.75em] &= 42 \cdot \int{1\ dx} \\[0.75em] &= 42 \cdot x + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Faktorregel für Integrale bestimmt werden soll:

\[ g(x) = 2x \]

Die Funktion $g(x) = 2x$ ist ein skalares Vielfaches der Potenzfunktion $u(x) = x$. Mithilfe der Faktorregel und der Integrationsregel der Potenzfunktion ergibt sich:

\begin{align*} \int{g(x)\ dx} &= \int{2x\ dx} \\[0.75em] &= 2 \cdot \int{x\ dx} \\[0.75em] &= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^2 \\[0.75em] &= x^2 + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 3

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Faktorregel für Integrale bestimmt werden soll:

h(x) = -\frac{1}{2} \cdot \sin(x)

Die Funktion $h(x) = -\frac{1}{2} \cdot \sin(x)$ ist ein skalares Vielfaches der Sinus-Funktion $u(x) = \sin(x)$. Mithilfe der Faktorregel und der Integrationsregel der Sinus-Funktion ergibt sich:

\begin{align*} \int{h(x)\ dx} &= \int{-\frac{1}{2} \cdot \sin(x)\ dx} \\[0.75em] &= -\frac{1}{2} \cdot \int{\sin(x)\ dx} \\[0.75em] &= -\frac{1}{2} \cdot \bigl( -\cos(x) \bigr) \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \cos(x) + \mathcal{C} \end{align*}

Herleitung der Faktorregel

Die Herleitung bzw. der Beweis der Faktorregel der Integralrechnung für das skalare Vielfache $f = \lambda u$ einer Funktion $u$ erfolgt mithilfe der Definition des Riemann-Integrals über den Grenzwert einer Riemann-Zwischensumme. Das reelle Intervall $[a, b]$ wird hierzu in $n$ Teilintervalle aufgeteilt. Das $i$-te Teilintervall sei durch $x_i$ und $x_{i+1}$ (mit $x_i \lt x_{i+1}$) begrenzt, wobei $x_0 = a$ und $x_n = b$ gilt. Mit $\xi_i \in [x_i, x_{i+1}]$ sei ein beliebiger Zwischenpunkt in diesem Teilintervall bezeichnet. Dann gilt:

\begin{align*} \int\limits_a^b{f(x)\ dx} &\overset{(1)}{=}\int\limits_a^b{\lambda \cdot u(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( \sum\limits_{i=0}^{n-1}{\bigl( x_{i+1} - x_i \bigr) \cdot \lambda \cdot u(\xi_i)} \right)} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( \lambda \cdot \sum\limits_{i=0}^{n-1}{\bigl( x_{i+1} - x_i \bigr) \cdot u(\xi_i)} \right)} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \lambda \cdot \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( \sum\limits_{i=0}^{n-1}{\bigl( x_{i+1} - x_i \bigr) \cdot u(\xi_i)} \right)} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \lambda \cdot \int\limits_a^b{u(x)\ dx} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen von $f(x)$ durch $\lambda \cdot u(x)$
(2)	Definition des Riemann-Integrals als Grenzwert der Riemann-Zwischensumme
(3)	Ausklammern des konstanten Faktors $\lambda$ aus der Summe mithilfe des Distributivgesetzes
(4)	Herausziehen des konstanten Faktors $\lambda$ aus dem Grenzwert
(5)	Rückführung des Grenzwerts auf das Riemann-Integral von $u$

Da die Gleichheit für beliebige Grenzen $a, b \in \R$ gilt, überträgt sie sich auf das unbestimmte Integral. Es gilt:

\int{\lambda \cdot u(x)\ dx} = \lambda \cdot \int{u(x)\ dx}

Hinweis: Der Beweis funktioniert analog mit Obersummen oder Untersummen anstelle der Zwischensumme, da $\lambda$ in allen Fällen als konstanter Faktor aus der Summe und dem Grenzwert herausgezogen werden kann.