Die Stammfunktion der Kosekans-Funktion (abgekürzt: csc) lässt sich mithilfe einer Integration durch Substitution und einer Partialbruchzerlegung bestimmen. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Herleitung der Stammfunktion, demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen und beschäftigt sich mit den Integrationsregeln für ganzzahligePotenzen der Kosekans-Funktion.
Grundlagen
Die Kosekans-Funktion ist eine der grundlegenden trigonometrischen Funktionen. Sie kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \neq k\pi$ (mit $k \in \Z$) als Kehrwert der Sinus-Funktion dargestellt werden.
\[ \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} \]
Integrationsregel
Die Stammfunktion der Kosekans-Funktion (abgekürzt: csc) ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \neq k\pi$ (für $k \in \Z$) wie folgt definiert:
Hinweis: Bei $\mathcal{C}$ handelt es sich wie üblich um die Integrationskonstante. Bei $\csc^{-1}$ handelt es sich um den Kehrwert $\frac{1}{\csc}$ der Kosekans-Funktion – und nicht um die Arkuskosekans-Funktion.
Beispiele
Beispiel 1
Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Kosekans-Funktion bestimmt werden soll:
\[ f(x) = \csc(5x) \]
Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $f(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=5x$ substituiert, woraus sich $dt = 5\ dx$ bzw. $dx = \frac{1}{5}\ dt$ ergibt.
Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Kosekans-Funktion bestimmt werden soll:
\[ g(x) = \csc\left(x^2 - 1\right) \cdot x \]
Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $g(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=x^2-1$ substituiert, woraus sich $dt = 2x\ dx$ bzw. $x\ dx = \frac{1}{2}\ dt$ ergibt.
Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Kosekans-Funktion bestimmt werden soll:
\[ h(x) = \csc^4(x) \]
Die Funktion $\csc^4(x)$ kann nicht unmittelbar integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Das Integral kann jedoch durch Anwenden der Rekursionsformel für $n \gt 1$ zunächst umgeformt (bzw. vereinfacht) und anschließend aufgelöst werden, nachdem der Exponent auf $2$ reduziert wurde. Es gilt:
Hierbei wurde im letzten Schritt verwendet, dass $\int{\csc^2(x)\ dx} = -\cot(x) + \mathcal{C}$ gilt, was sich direkt aus der Ableitungsregel der Kotangens-Funktion ergibt.
Herleitung der Integrationsregel von csc(x)
Die Herleitung der Integrationsregel bzw. der Stammfunktion der Kosekans-Funktion erfolgt mithilfe einer Integration durch Substitution und anschließender Partialbruchzerlegung. Zunächst wird die Funktion umgeformt:
Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$
Weitere Form der Stammfunktion
Die erhaltene Stammfunktion lässt sich unter anderem mithilfe der Logarithmus- und Potenzgesetze sowie den Halbwinkelidentitäten in die folgende kompaktere Form überführen:
Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$
Herleitung der Integrationsregel von cscn(x) für n > 1
Für den ganzzahligen Exponenten $n=2$ ergibt sich die Stammfunktion der Kosekans-Funktion unmittelbar aus der Umkehrung der Ableitungsregel der Kotangens-Funktion. Es gilt:
Für positive ganzzahlige Exponenten $n \gt 2$ können Potenzen der Kosekans-Funktion nicht direkt integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Stattdessen kann eine Rekursionsformel hergeleitet werden, die das Integral $\int{\csc^n(x)\ dx}$ auf das einfachere Integral $\int{\csc^{n-2}(x)\ dx}$ zurückführt. Die Herleitung erfolgt mithilfe von partieller Integration.
Zusammenfassen von $\csc^2(x) \cdot \csc^{n-2}(x)$ zu $\csc^n(x)$ mithilfe von Potenzgesetz I-a
Auflösen der Klammern
In der gefundenen Formel taucht das Integral $\int{\csc^n(x)\ dx}$ auf beiden Seiten mit unterschiedlicher Vielfachheit auf. Abschließendes Umstellen liefert die gesuchte Rekursionsformel:
Diese Formel führt das Integral $\int{\csc^n(x)\ dx}$ auf das Integral $\int{\csc^{n-2}(x)\ dx}$ zurück (für $n \gt 1$), dessen Exponent $n-2$ stets kleiner als der ursprüngliche Exponent $n$ ist. Durch wiederholtes Anwenden wird der Exponent schrittweise auf $1$ oder $2$ gebracht. Beide Fälle fungieren als Rekursionsanker bzw. Basisfall, da sie eine bekannte Stammfunktion besitzen – und erlauben somit ein vollständiges Auflösen des Integrals. (Hinweis: Der Exponent $0$ wäre ebenfalls ein möglicher Basisfall. Da jedoch bereits für den Fall $\csc^2$ eine Stammfunktion existiert, wäre dies lediglich zusätzlicher und unnötiger Rechenaufwand.)
Herleitung der Integrationsregel von cscn(x) für n < -1
Für negative ganzzahlige Exponenten $n \lt -1$ können Potenzen der Kosekans-Funktion nicht direkt integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Stattdessen kann eine Rekursionsformel hergeleitet werden, die das Integral $\int{\csc^n(x)\ dx}$ auf ein einfacheres Integral zurückführt. Sie ergibt sich direkt durch algebraisches Umformen der bereits bekannten Formel für $n \gt 1$. Es gilt:
Umstellen nach $\frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\csc^{n-2}(x)\ dx}$
(3)
Multiplikation der Gleichung mit $\frac{n-1}{n-2}$
(4)
Substitution von $m = n-2$
Die erhaltene Formel führt das Integral $\int{\csc^m(x)\ dx}$ auf das Integral $\int{\csc^{m+2}(x)\ dx}$ zurück (für $m \lt -1$), dessen Exponent $m+2$ betragsmäßig stets kleiner als der ursprüngliche Exponent $m$ ist. Durch wiederholtes Anwenden wird der Exponent schrittweise auf $-1$ oder $0$ gebracht. Beide Fälle fungieren als Rekursionsanker bzw. Basisfall, da sie eine bekannte Stammfunktion besitzen – und erlauben somit ein vollständiges Auflösen des Integrals:
