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Ableitungsregel für Kosekans
Inhalt
Herleitung
Die Bestimmung der Ableitung von $\csc(x)$ wird ausgehend von der Definition $\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}$ vorgenommen.
Es gilt:
\begin{align*} {\Bigl[ \csc(x) \Bigr]}' &= {\left[ \frac{1}{\sin(x)} \right]}' \\[0.75em] &= \frac{{\left[ 1 \right]}' \cdot \sin(x) - 1 \cdot {\left[ \sin(x) \right]}'}{\sin^2(x)} \\[0.75em] &= \frac{0 \cdot \sin(x) - 1 \cdot \cos(x)}{\sin^2(x)} \\[0.75em] &= -\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} \end{align*}
Variante 1:
\begin{align*} {\Bigl[ \csc(x) \Bigr]}' &= -\frac{1}{\sin(x)} \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \\[0.75em] &= -\csc(x) \cdot \cot(x) \end{align*}
Variante 2:
\begin{align*} {\Bigl[ \csc(x) \Bigr]}' &= -\frac{\frac{1}{\sin^2(x)}}{\frac{1}{\cos(x)}} \\[0.75em] &= -\frac{\csc^2(x)}{\sec(x)} \end{align*}