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Kosinus (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Kosinus-Funktion (abgekürzt: cos) lässt sich direkt durch Umkehrung der Ableitungsregel der Sinus-Funktion bestimmen. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Herleitung der Stammfunktion, demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen und beschäftigt sich mit den Integrationsregeln für ganzzahlige Potenzen der Kosinus-Funktion.

Grundlagen

Die Kosinus-Funktion ist eine der grundlegenden trigonometrischen Funktionen. Aus der Ableitungsregel der Sinus-Funktion folgt, dass es sich bei $\cos(x)$ um die Ableitung von $\sin(x)$ handelt.

\[ \frac{d}{dx} \Bigl[ \sin(x) \Bigr] = \cos(x) \]

Integrationsregel

Die Stammfunktion der Kosinus-Funktion (abgekürzt: cos) ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:

\[ \int{\cos(x)\ dx} = \sin(x) + \mathcal{C} \]

Für Potenzen der Kosinus-Funktion mit ganzzahligen Exponenten existieren darüber hinaus die folgenden Integrationsregeln:

\begin{align*} \int{\cos^{-1}(x)\ dx} &= \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| \sin(x) + 1 \bigr| - \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| \sin(x) - 1 \bigr| + \mathcal{C} \\[0.75em] &= \ln\bigl| \tan(x) + \sec(x) \bigr| + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{\cos^n(x)\ dx} &= \frac{1}{n} \cdot \sin(x) \cdot \cos^{n-1}(x) + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\cos^{n-2}(x)\ dx} \quad(\text{für } n \gt 1) \\[0.75em] \int{\cos^n(x)\ dx} &= -\frac{1}{n+1} \cdot \sin(x) \cdot \cos^{n+1}(x) + \frac{n+2}{n+1} \cdot \int{\cos^{n+2}(x)\ dx} \quad(\text{für } n \lt -1) \end{align*}

Hinweis: Bei $\mathcal{C}$ handelt es sich wie üblich um die Integrationskonstante. Bei $\cos^{-1}$ handelt es sich um den Kehrwert $\frac{1}{\cos}$ der Kosinus-Funktion – und nicht um die Arkuskosinus-Funktion.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Kosinus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ f(x) = \cos(6x) \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $f(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=6x$ substituiert, woraus sich $dt = 6\ dx$ bzw. $dx = \frac{1}{6}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{f(x)\ dx} &= \int{\cos(6x)\ dx} \\[0.75em] &= \int{\cos(t) \cdot \frac{1}{6}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{6} \cdot \int{\cos(t)\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{6} \cdot \sin(t) \\[0.75em] &= \frac{1}{6} \cdot \sin(6x) + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Kosinus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ g(x) = \cos\left(x^2 - 4\right) \cdot x \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $g(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=x^2-4$ substituiert, woraus sich $dt = 2x\ dx$ bzw. $x\ dx = \frac{1}{2}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{g(x)\ dx} &= \int{\cos\left(x^2-4\right) \cdot x\ dx} \\[0.75em] &= \int{\cos(t) \cdot \frac{1}{2}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \int{\cos(t)\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \sin(t) \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \sin\left(x^2-4\right) + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 3

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Kosinus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ h(x) = \cos^4(x) \]

Die Funktion $\cos^4(x)$ kann nicht unmittelbar integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Das Integral kann jedoch durch zweifaches Anwenden der Rekursionsformel für $n \gt 1$ zunächst umgeformt (bzw. vereinfacht) und anschließend aufgelöst werden, nachdem der Exponent auf $0$ reduziert wurde. Es gilt:

\begin{align*} \int{h(x)\ dx} &\overset{\phantom{(n=4)}}{=} \int{\cos^4(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(n=4)}{=} \frac{1}{4} \cdot \sin(x) \cdot \cos^3(x) + \frac{3}{4} \cdot \int{\cos^2(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(n=2)}{=} \frac{1}{4} \cdot \sin(x) \cdot \cos^3(x) + \frac{3}{4} \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot \sin(x) \cdot \cos(x) + \frac{1}{2} \cdot \int{\cos^0(x)\ dx} \right) \\[0.75em] &\overset{(n=0)}{=} \frac{1}{4} \cdot \sin(x) \cdot \cos^3(x) + \frac{3}{4} \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot \sin(x) \cdot \cos(x) + \frac{1}{2} \cdot x \right) \\[0.75em] &\overset{\phantom{(n=0)}}{=} \frac{1}{4} \cdot \sin(x) \cdot \cos^3(x) + \frac{3}{8} \cdot \sin(x) \cdot \cos(x) + \frac{3}{8} \cdot x + \mathcal{C} \end{align*}

Herleitung der Integrationsregel von cos(x)

Die Herleitung der Integrationsregel bzw. der Stammfunktion der Kosinus-Funktion erfolgt durch Umkehrung der Ableitungsregel der Sinus-Funktion. Es gilt:

\begin{align*} \cos(x) &\overset{(1)}{=} \frac{d}{dx}\Bigl[\sin(x)\Bigr] \\[1.5em] \implies \int{\cos(x)\ dx} &\overset{(2)}{=} \int{\frac{d}{dx}\Bigl[\sin(x)\Bigr]\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \sin(x) + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
  • Integration beider Seiten der Gleichung nach $x$
(3)
  • Auswerten des Integrals: Die Stammfunktion von $\frac{d}{dx}\bigl[f(x)\bigr]$ ist $f(x)$
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Herleitung der Integrationsregel von cos-1(x)

Die Stammfunktion von $\cos^{-1}(x) = \frac{1}{\cos(x)}$ lässt sich mithilfe einer Integration durch Substitution und anschließender Partialbruchzerlegung bestimmen. Zunächst wird die Funktion umgeformt:

\begin{align*} \int{\cos^{-1}(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{\frac{1}{\cos(x)}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \int{\frac{\cos(x)}{\cos^2(x)}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \int{\frac{\cos(x)}{1 - \sin^2(x)}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \int{\frac{1}{1 - t^2}\ dt} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \int{\left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t+1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t-1} \right)\ dt} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \frac{1}{2} \cdot \int{\frac{1}{t+1}\ dt} - \frac{1}{2} \cdot \int{\frac{1}{t-1}\ dt} \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| t+1 \bigr| - \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| t-1 \bigr| \\[0.75em] &\overset{(8)}{=} \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| \sin(x)+1 \bigr| - \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| \sin(x)-1 \bigr| + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Umschreiben der Potenz mithilfe der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
(2)
  • Erweitern mit $\cos(x)$
(3)
  • Ersetzen von $\cos^2(x)$ durch $1 - \sin^2(x)$ mithilfe der trigonometrischen Identität $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$
(4)
(5)
  • Bestimmen einer Partialbruchzerlegung für die rationale Funktion; es gilt:
    \[ \frac{1}{1-t^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t+1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t-1} \]
(6)
(7)
(8)
  • Resubstitution von $t = \sin(x)$
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Weitere Form der Stammfunktion

Die erhaltene Stammfunktion lässt sich unter anderem mithilfe der Logarithmus- und Potenzgesetze in die folgende kompaktere Form überführen:

\begin{align*} \int{\cos^{-1}(x)\ dx} &\overset{(8)}{=} \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| \sin(x)+1 \bigr| - \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| \sin(x)-1 \bigr| \\[0.75em] &\overset{(9)}{=} \frac{1}{2} \cdot \ln\left| \frac{\sin(x)+1}{\sin(x)-1} \right| \\[0.75em] &\overset{(10)}{=} \frac{1}{2} \cdot \ln\left| \frac{{(\sin(x)+1)}^2}{\sin^2(x)-1} \right| \\[0.75em] &\overset{(11)}{=} \frac{1}{2} \cdot \ln\left| \frac{{(\sin(x)+1)}^2}{\cos^2(x)} \right| \\[0.75em] &\overset{(12)}{=} \ln\left| \frac{\sin(x)+1}{\cos(x)} \right| \\[0.75em] &\overset{(13)}{=} \ln\bigl| \tan(x) + \sec(x) \bigr| + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(9)
(10)
(11)
  • Ersetzen von $\sin^2(x)-1$ durch $-\cos^2(x)$ mithilfe der trigonometrischen Identität $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$
  • Entfernen des Vorzeichens von $-\cos^2(x)$ wegen der umschließenden Betragsfunktion
(12)
  • Anwenden von Potenzgesetz II-b, Herausziehen der Potenz aus dem Betrag, Anwenden von Logarithmusgesetz II liefert:
    \begin{align*} \frac{1}{2} \cdot \ln\left| \frac{{(\sin(x)+1)}^2}{\cos^2(x)} \right| &= \frac{1}{2} \cdot \ln \left| {\left( \frac{\sin(x)+1}{\cos(x)} \right)}^2 \right| \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \ln {\left| \frac{\sin(x)+1}{\cos(x)} \right|}^2 \\[0.75em] &= \ln \left| \frac{\sin(x)+1}{\cos(x)} \right| \end{align*}
(13)
  • Aufteilen des Bruchs und Umschreiben mithilfe der Definitionen der Tangens-Funktion und der Sekans-Funktion
    \begin{align*} \frac{\sin(x)+1}{\cos(x)} &= \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{1}{\cos(x)} \\[0.75em] &= \tan(x) + \sec(x) \end{align*}
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Hinweis: Bei $\cos^{-1}$ handelt es sich um die Sekans-Funktion $\sec$. Bei der Integrationsregel für $\cos^{-1}$ handelt es sich somit ebenfalls um die Integrationsregel der Sekans-Funktion.

Herleitung der Integrationsregel von cosn(x) für n > 1

Für positive ganzzahlige Exponenten $n \gt 1$ können Potenzen der Kosinus-Funktion nicht direkt integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Stattdessen kann eine Rekursionsformel hergeleitet werden, die das Integral $\int{\cos^n(x)\ dx}$ auf das einfachere Integral $\int{\cos^{n-2}(x)\ dx}$ zurückführt. Die Herleitung erfolgt mithilfe von partieller Integration.

\begin{align*} \int{\cos^n(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{\cos(x) \cdot \cos^{n-1}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \sin(x) \cdot \cos^{n-1}(x) - \int{\sin(x) \cdot (n-1) \cdot \cos^{n-2}(x) \cdot \bigl(-\sin(x)\bigr)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \sin(x) \cdot \cos^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \int{\sin^2(x) \cdot \cos^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \sin(x) \cdot \cos^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \int{\bigl(1 - \cos^2(x)\bigr) \cdot \cos^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \sin(x) \cdot \cos^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \left( \int{\cos^{n-2}(x)\ dx} - \int{\cos^{n-2}(x) \cdot \cos^2(x)\ dx} \right) \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \sin(x) \cdot \cos^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \int{\cos^{n-2}(x)\ dx} - (n-1) \cdot \int{\cos^n(x)\ dx} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Umschreiben von $\cos^n(x)$ zu $\cos(x) \cdot \cos^{n-1}(x)$ mithilfe von Potenzgesetz I-a
(2)
(3)
  • Herausziehen des konstanten Faktors $-(n-1)$ mithilfe der Faktorregel für Integrale
  • Zusammenfassen von $\sin(x) \cdot \sin(x)$ zu $\sin^2(x)$ mithilfe von Potenzgesetz I-a
(4)
  • Ersetzen von $\sin^2(x)$ durch $1 - \cos^2(x)$ mithilfe der trigonometrischen Identität $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$
(5)
(6)
  • Zusammenfassen von $\cos^{n-2}(x) \cdot \cos^2(x)$ zu $\cos^n(x)$ mithilfe von Potenzgesetz I-a
  • Auflösen der Klammern

In der gefundenen Formel taucht das Integral $\int{\cos^n(x)\ dx}$ auf beiden Seiten mit unterschiedlicher Vielfachheit auf. Abschließendes Umstellen liefert die gesuchte Rekursionsformel:

\begin{align*} \int{\cos^n(x)\ dx} + (n-1) \cdot \int{\cos^n(x)\ dx} &\overset{(7)}{=} \sin(x) \cdot \cos^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \int{\cos^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] n \cdot \int{\cos^n(x)\ dx} &\overset{(8)}{=} \sin(x) \cdot \cos^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \int{\cos^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\cos^n(x)\ dx} &\overset{(9)}{=} \frac{1}{n} \cdot \sin(x) \cdot \cos^{n-1}(x) + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\cos^{n-2}(x)\ dx} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(7)
  • Addition von $(n-1) \cdot \int{\cos^n(x)\ dx}$ auf beiden Seiten der Gleichung
(8)
(9)
  • Division beider Seiten durch $n$

Die gesuchte Rekursionsformel für $n \gt 1$ lautet damit:

\[ \int{\cos^n(x)\ dx} = \frac{1}{n} \cdot \sin(x) \cdot \cos^{n-1}(x) + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\cos^{n-2}(x)\ dx} \]

Diese Formel führt das Integral $\int{\cos^n(x)\ dx}$ auf das Integral $\int{\cos^{n-2}(x)\ dx}$ zurück (für $n \gt 1$), dessen Exponent $n-2$ stets kleiner als der ursprüngliche Exponent $n$ ist. Durch wiederholtes Anwenden wird der Exponent schrittweise auf $0$ oder $1$ gebracht. Beide Fälle fungieren als Rekursionsanker bzw. Basisfall, da sie eine bekannte Stammfunktion besitzen – und erlauben somit ein vollständiges Auflösen des Integrals:

\begin{align*} \int{\cos(x)\ dx} &= \sin(x) + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{\cos^0(x)\ dx} &= \int{1\ dx} = x + \mathcal{C} \end{align*}

Herleitung der Integrationsregel von cosn(x) für n < -1

Für negative ganzzahlige Exponenten $n \lt -1$ können Potenzen der Kosinus-Funktion nicht direkt integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Stattdessen kann eine Rekursionsformel hergeleitet werden, die das Integral $\int{\cos^n(x)\ dx}$ auf ein einfacheres Integral zurückführt. Sie ergibt sich direkt durch algebraisches Umformen der bereits bekannten Formel für $n \gt 1$. Es gilt:

\begin{align*} \int{\cos^n(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \frac{1}{n} \cdot \sin(x) \cdot \cos^{n-1}(x) + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\cos^{n-2}(x)\ dx} \\[1.5em] \implies \frac{n-1}{n} \cdot \int{\cos^{n-2}(x)\ dx} &\overset{(2)}{=} -\frac{1}{n} \cdot \sin(x) \cdot \cos^{n-1}(x) + \int{\cos^n(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\cos^{n-2}(x)\ dx} &\overset{(3)}{=} -\frac{1}{n-1} \cdot \sin(x) \cdot \cos^{n-1}(x) + \frac{n}{n-1} \cdot \int{\cos^{n}(x)\ dx} \\[1.5em] \implies \int{\cos^{m}(x)\ dx} &\overset{(4)}{=} -\frac{1}{m+1} \cdot \sin(x) \cdot \cos^{m+1}(x) + \frac{m+2}{m+1} \cdot \int{\cos^{m+2}(x)\ dx} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Rekursionsformel für den Fall $n \gt 1$
(2)
  • Umstellen nach $\frac{n-1}{n} \cdot \int{\cos^{n-2}(x)\ dx}$
(3)
  • Multiplikation der Gleichung mit $\frac{n}{n-1}$
(4)
  • Substitution von $m = n-2$

Die erhaltene Formel führt das Integral $\int{\cos^m(x)\ dx}$ auf das Integral $\int{\cos^{m+2}(x)\ dx}$ zurück (für $m \lt -1$), dessen Exponent $m+2$ betragsmäßig stets kleiner als der ursprüngliche Exponent $m$ ist. Durch wiederholtes Anwenden wird der Exponent schrittweise auf $-1$ oder $0$ gebracht. Beide Fälle fungieren als Rekursionsanker bzw. Basisfall, da sie eine bekannte Stammfunktion besitzen – und erlauben somit ein vollständiges Auflösen des Integrals:

\begin{align*} \int{\cos^{-1}(x)\ dx} &= \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| \sin(x)+1 \bigr| - \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| \sin(x)-1 \bigr| + \mathcal{C} \\[0.75em] &= \ln\bigl| \tan(x) + \sec(x) \bigr| + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{\cos^0(x)\ dx} &= \int{1\ dx} = x + \mathcal{C} \end{align*}