Herleitung der Stammfunktion für $\cos^n(x)$ (für $n > 1$)
Die Stammfunktion für $\cos^n(x)$ (mit $n > 1$) wird mithilfe von partieller Integration hergeleitet:
\begin{align*} \int{\cos^n(x)\ dx} &= \int{\cos(x) \cdot \cos^{n-1}(x)\ dx} \\[0.75em] &= \sin(x) \cdot \cos^{n-1}(x) - \int{\sin(x) \cdot (n-1) \cdot \cos^{n-2}(x) \cdot \left( -\sin(x) \right)\ dx} \\[0.75em] &= \sin(x) \cdot \cos^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \int{\sin^2(x) \cdot \cos^{n-2}(x)\ dx}. \end{align*}
Unter Verwendung der Identität $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ folgt:
\begin{align*} \int{\cos^n(x)\ dx} &= \sin(x) \cdot \cos^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \int{{\left( 1 - \cos^2(x) \right)} \cdot \cos^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &= \sin(x) \cdot \cos^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \int{\cos^{n-2}(x)\ dx} - (n-1) \cdot \int{\cos^2(x) \cdot \cos^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &= \sin(x) \cdot \cos^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \int{\cos^{n-2}(x)\ dx} - (n-1) \cdot \int{\cos^n(x)\ dx}. \end{align*}
Anschließend wird nach $\int{\cos^n(x)\ dx}$ umgestellt:
\begin{align*} \bigl(1 + (n-1)\bigr) \cdot \int{\cos^n(x)\ dx} &= \sin(x) \cdot \cos^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \int{\cos^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] n \cdot \int{\cos^n(x)\ dx} &= \sin(x) \cdot \cos^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \int{\cos^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\cos^n(x)\ dx} &= \frac{1}{n} \cdot \sin(x) \cdot \cos^{n-1}(x) + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\cos^{n-2}(x)\ dx} \end{align*}
Herleitung der Stammfunktion für $\cos^n(x)$ (für $n < -1$)
Die Stammfunktion für $\cos^n(x)$ (mit $n < -1$) kann durch Umstellen der Formel für $n > 1$ hergeleitet werden.
\[ \int{\cos^n(x)\ dx} = \frac{1}{n} \cdot \sin(x) \cdot \cos^{n-1}(x) + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\cos^{n-2}(x)\ dx} \]
Umstellen nach $\int{\cos^{n-2}(x)\ dx}$:
\begin{align*} \frac{n-1}{n} \cdot \int{\cos^{n-2}(x)\ dx} &= -\frac{1}{n} \cdot \sin(x) \cdot \cos^{n-1}(x) + \int{\cos^n(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\cos^{n-2}(x)\ dx} &= -\frac{1}{n-1} \cdot \sin(x) \cdot \cos^{n-1}(x) + \frac{n}{n-1} \int{\cos^n(x)\ dx} \end{align*}
Substitution $m=n-2$:
\[ \int{\cos^{m}(x)\ dx} = -\frac{1}{m+1} \cdot \sin(x) \cdot \cos^{m+1}(x) + \frac{m+2}{m+1} \int{\cos^{m+2}(x)\ dx} \]
Stammfunktion von $\cos^{-1}(x) = \frac{1}{\cos(x)}$
Zunächst wird die Ausgangsfunktion mit $\cos(x)$ erweitert und unter Verwendung der Identität $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ umgeformt:
\begin{align*} \int{\frac{1}{\cos(x)}\ dx} &= \int{\frac{\cos(x)}{\cos^2(x)}\ dx} \\[0.75em] &= \int{\frac{\cos(x)}{1 - \sin^2(x)}\ dx}. \end{align*}
Anschließend wird mit $t = \sin(x)$ substituiert. Aus $t = \sin(x)$ folgt $dt = \cos(x)\ dx$. Die entstandene rationale Funktion wird integriert:
\begin{align*} \int{\frac{\cos(x)}{1 - \sin^2(x)}\ dx} &= \int{\frac{1}{1 - t^2}\ dt} \\[0.75em] &= -\frac{1}{2} \ln{|t-1|} + \frac{1}{2} \ln{|t+1|}. \end{align*}
Abschließende Resubstitution liefert das gewünschte Ergebnis:
\[ \int{\frac{1}{\cos(x)}\ dx} = \frac{1}{2} \ln{|\sin(x)+1|} - \frac{1}{2} \ln{|\sin(x)-1|}. \]
