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Ableitungsregel für Kotangens
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Herleitung
Die Bestimmung der Ableitung von $\cot(x)$ wird ausgehend von der Definition $\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ vorgenommen.
Es gilt:
\begin{align*} {\Bigl[ \cot(x) \Bigr]}' &= {\left[ \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \right]}' \\[0.75em] &= \frac{{\left[ \cos(x) \right]}' \cdot \sin(x) - \cos(x) \cdot {\left[ \sin(x) \right]}'}{\sin^2(x)} \\[0.75em] &= \frac{\left( -\sin(x) \right) \cdot \sin(x) - \cos(x) \cdot \cos(x)}{\sin^2(x)} \\[0.75em] &= \frac{-\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)} \\[0.75em] &= \frac{- \left( \sin^2(x) + \cos^2(x) \right)}{\sin^2(x)} \\[0.75em] \end{align*}
Unter Verwendung der Identität $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ folgt direkt:
\[ {\Bigl[ \cot(x) \Bigr]}' = \frac{-1}{\sin^2(x)} \]
Alternative:
\begin{align*} {\Bigl[ \cot(x) \Bigr]}' &= \frac{-\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)} \\[0.75em] &= -\frac{\sin^2(x)}{\sin^2(x)} - \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} \\[0.75em] &= -1 - {\left( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \right)}^2 \\[0.75em] &= -1 - \cot^2(x) \end{align*}