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Exponentialfunktion
Herleitung der Ableitung von $e^x$
Ausgehend von der Gleichung $y = e^x$ werden zunächst beide Seiten logarithmiert und mithilfe der Logarithmusgesetze umgestellt:
\begin{align*} y &= e^x \\[0.75em] \ln(y) &= \ln\left( e^x \right) \\[0.75em] &= x \cdot \ln(e) \\[0.75em] &= x \end{align*}
Anschließendes Ableiten und Umstellen liefert die gesuchte Formel:
\begin{align*} \frac{d}{dx} \Bigl[ \ln(y) \Bigr] &= \frac{d}{dx} \Bigl[ x \Bigr] \\[0.75em] \frac{1}{y} \cdot \frac{d}{dx} \Bigl[ y \Bigr] &= 1 \\[0.75em] \frac{d}{dx} \Bigl[ y \Bigr] &= y \\[0.75em] &= e^x \end{align*}
Herleitung der Ableitung von $a^x$
Die Herleitung der Ableitung von $a^x$ funktioniert nach demselben Schema wie die Herleitung der Ableitung für $e^x$. Ausgehend von der Gleichung $y = a^x$ werden zunächst beide Seiten logarithmiert und mithilfe der Logarithmusgesetze umgestellt:
\begin{align*} y &= a^x \\[0.75em] \ln(y) &= \ln\left( a^x \right) \\[0.75em] &= x \cdot \ln(a) \end{align*}
Anschließendes Ableiten und Umstellen liefert die gesuchte Formel:
\begin{align*} \frac{d}{dx} \Bigl[ \ln(y) \Bigr] &= \frac{d}{dx} \Bigl[ x \cdot \ln(a) \Bigr] \\[0.75em] \frac{1}{y} \cdot \frac{d}{dx} \Bigl[ y \Bigr] &= \ln(a) \\[0.75em] \frac{d}{dx} \Bigl[ y \Bigr] &= y \cdot \ln(a) \\[0.75em] &= a^x \cdot \ln(a) \end{align*}