de
Seitenbanner
Menu
A-Z
Nachlesen

Kosekans hyperbolicus (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Kosekans-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: csch) lässt sich mithilfe einer Integration durch Substitution und einer Partialbruchzerlegung bestimmen. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Herleitung der Stammfunktion, demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen und beschäftigt sich mit den Integrationsregeln für ganzzahlige Potenzen der Kosekans-hyperbolicus-Funktion.

Grundlagen

Die Kosekans-hyperbolicus-Funktion ist eine der grundlegenden hyperbolischen Funktionen. Sie kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \neq 0$ als Kehrwert der Sinus-hyperbolicus-Funktion dargestellt werden.

\[ \csch(x) = \frac{1}{\sinh(x)} \]

Integrationsregel

Die Stammfunktion der Kosekans-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: csch) ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \neq 0$ wie folgt definiert:

\begin{align*} \int{\csch(x)\ dx} &= \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl( \cosh(x)-1 \bigr) - \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl( \cosh(x)+1 \bigr) + \mathcal{C} \\[0.75em] &= \ln \left| \tanh\left(\frac{x}{2}\right) \right| + \mathcal{C} \end{align*}

Für Potenzen der Kosekans-hyperbolicus-Funktion mit ganzzahligen Exponenten existieren darüber hinaus die folgenden Integrationsregeln:

\begin{align*} \int{\csch^{-1}(x)\ dx} &= \cosh(x) + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{\csch^n(x)\ dx} &= -\frac{1}{n-1} \cdot \coth(x) \cdot \csch^{n-2}(x) - \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\csch^{n-2}(x)\ dx} \quad(\text{für } n \gt 1) \\[0.75em] \int{\csch^n(x)\ dx} &= -\frac{1}{n} \cdot \coth(x) \cdot \csch^n(x) - \frac{n+1}{n} \cdot \int{\csch^{n+2}(x)\ dx} \quad(\text{für } n \lt -1) \end{align*}

Hinweis: Bei $\mathcal{C}$ handelt es sich wie üblich um die Integrationskonstante. Bei $\csch^{-1}$ handelt es sich um den Kehrwert $\frac{1}{\csch}$ der Kosekans-hyperbolicus-Funktion – und nicht um die Areakosekans-hyperbolicus-Funktion.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Kosekans-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ f(x) = \csch(3x) \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $f(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=3x$ substituiert, woraus sich $dt = 3\ dx$ bzw. $dx = \frac{1}{3}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{f(x)\ dx} &= \int{\csch(3x)\ dx} \\[0.75em] &= \int{\csch(t) \cdot \frac{1}{3}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{3} \cdot \int{\csch(t)\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{3} \cdot \ln\left|\tanh\left(\frac{t}{2}\right)\right| \\[0.75em] &= \frac{1}{3} \cdot \ln\left|\tanh\left(\frac{3x}{2}\right)\right| + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Kosekans-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ g(x) = \csch\left(x^2 + 4\right) \cdot x \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $g(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=x^2+4$ substituiert, woraus sich $dt = 2x\ dx$ bzw. $x\ dx = \frac{1}{2}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{g(x)\ dx} &= \int{\csch\left(x^2+4\right) \cdot x\ dx} \\[0.75em] &= \int{\csch(t) \cdot \frac{1}{2}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \int{\csch(t)\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \ln\left|\tanh\left(\frac{t}{2}\right)\right| \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \ln\left|\tanh\left(\frac{x^2+4}{2}\right)\right| + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 3

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Kosekans-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ h(x) = \csch^4(x) \]

Die Funktion $\csch^4(x)$ kann nicht unmittelbar integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Das Integral kann jedoch durch Anwenden der Rekursionsformel für $n \gt 1$ zunächst umgeformt (bzw. vereinfacht) und anschließend aufgelöst werden, nachdem der Exponent auf $2$ reduziert wurde. Es gilt:

\begin{align*} \int{h(x)\ dx} &\overset{\phantom{(n=4)}}{=} \int{\csch^4(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(n=4)}{=} -\frac{1}{3} \cdot \coth(x) \cdot \csch^2(x) - \frac{2}{3} \cdot \int{\csch^2(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(n=2)}{=} -\frac{1}{3} \cdot \coth(x) \cdot \csch^2(x) + \frac{2}{3} \cdot \coth(x) + \mathcal{C} \end{align*}

Hierbei wurde im letzten Schritt verwendet, dass $\int{\csch^2(x)\ dx} = -\coth(x) + \mathcal{C}$ gilt, was sich direkt aus der Ableitungsregel der Kotangens-hyperbolicus-Funktion ergibt.

Herleitung der Integrationsregel von csch(x)

Die Herleitung der Integrationsregel bzw. der Stammfunktion der Kosekans-hyperbolicus-Funktion erfolgt mithilfe einer Integration durch Substitution. Zunächst wird die Funktion umgeformt:

\begin{align*} \int{\csch(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{\frac{1}{\sinh(x)}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \int{\frac{\sinh(x)}{\sinh^2(x)}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \int{\frac{\sinh(x)}{\cosh^2(x) - 1}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \int{\frac{1}{t^2 - 1}\ dt} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \int{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t-1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t+1}\right)\ dt} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \frac{1}{2} \cdot \int{ \frac{1}{t-1}\ dt} - \frac{1}{2} \cdot \int{ \frac{1}{t+1}\ dt} \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| t-1 \bigr| - \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| t+1 \bigr| \\[0.75em] &\overset{(8)}{=} \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl( \cosh(x)-1 \bigr) - \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl( \cosh(x)+1 \bigr) + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
  • Erweitern mit $\sinh(x)$
(3)
  • Ersetzen von $\sinh^2(x)$ durch $\cosh^2(x) - 1$ mithilfe der hyperbolischen Identität $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$
(4)
(5)
  • Bestimmen einer Partialbruchzerlegung für die rationale Funktion; es gilt:
    \[ \frac{1}{t^2-1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t-1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t+1} \]
(6)
(7)
(8)
  • Resubstitution von $t = \cosh(x)$
  • Auflösen der Beträge mithilfe der Eigenschaft $\cosh(x) \pm 1 \geq 0$
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Weitere Form der Stammfunktion

Die erhaltene Stammfunktion lässt sich unter anderem mithilfe der Logarithmus- und Potenzgesetze sowie den hyperbolischen Halbwinkelidentitäten in die folgende kompaktere Form überführen:

\begin{align*} \int{\csch(x)\ dx} &\overset{(8)}{=} \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl( \cosh(x)-1 \bigr) - \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl( \cosh(x)+1 \bigr) \\[0.75em] &\overset{(9)}{=} \frac{1}{2} \cdot \ln\left( \frac{\cosh(x) - 1}{\cosh(x) + 1} \right) \\[0.75em] &\overset{(10)}{=} \frac{1}{2} \cdot \ln\left( \frac{2\sinh^2\left(\frac{x}{2}\right)}{2\cosh^2\left(\frac{x}{2}\right)} \right) \\[0.75em] &\overset{(11)}{=} \frac{1}{2} \cdot \ln\left( \tanh^2\left(\frac{x}{2}\right) \right) \\[0.75em] &\overset{(12)}{=} \ln \left| \tanh\left(\frac{x}{2}\right) \right| + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(9)
(10)
  • Ersetzen von Zähler und Nenner mithilfe der hyperbolischen Halbwinkelidentitäten:
    \begin{align*} \cosh(x) - 1 &= 2 \sinh^2\left( \frac{x}{2} \right) \\[0.75em] \cosh(x) + 1 &= 2 \cosh^2\left( \frac{x}{2} \right) \end{align*}
(11)
(12)
  • Anwenden von Logarithmusgesetz II und Zusammenfassen der Konstanten
  • Hinzufügen des Betrags, damit die Formel für negative $x$ wie zuvor funtkioniert
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Herleitung der Integrationsregel von csch-1(x)

Bei $\csch^{-1}(x) = \frac{1}{\csch(x)}$ handelt es sich um die Sinus-hyperbolicus-Funktion $\sinh$. Die Integrationsregel für $\csch^{-1}$ ist daher identisch mit der Integrationsregel der Sinus-hyperbolicus-Funktion:

\begin{align*} \int{\csch^{-1}(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{\frac{1}{\csch(x)}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \int{\frac{1}{\frac{1}{\sinh(x)}}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \int{\sinh(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \cosh(x) + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Umschreiben der Potenz mithilfe der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
(2)
(3)
  • Auflösen des Doppelbruchs
(4)

Herleitung der Integrationsregel von cschn(x) für n > 1

Für den ganzzahligen Exponenten $n=2$ ergibt sich die Stammfunktion der Kosekans-hyperbolicus-Funktion unmittelbar aus der Umkehrung der Ableitungsregel der Kotangens-hyperbolicus-Funktion. Es gilt:

\[ \int{\csch^2(x)\ dx} = -\coth(x) + \mathcal{C} \]

Für positive ganzzahlige Exponenten $n \gt 2$ können Potenzen der Kosekans-hyperbolicus-Funktion nicht direkt integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Stattdessen kann eine Rekursionsformel hergeleitet werden, die das Integral $\int{\csch^n(x)\ dx}$ auf das einfachere Integral $\int{\csch^{n-2}(x)\ dx}$ zurückführt. Die Herleitung erfolgt mithilfe von partieller Integration.

\begin{align*} \int{\csch^n(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{\csch^2(x) \cdot \csch^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} -\coth(x) \cdot \csch^{n-2}(x) - \int{\bigl(-\coth(x)\bigr) \cdot \bigl(-(n-2)\bigr) \cdot \csch^{n-2}(x) \cdot \coth(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} -\coth(x) \cdot \csch^{n-2}(x) - (n-2) \cdot \int{\coth^2(x) \cdot \csch^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} -\coth(x) \cdot \csch^{n-2}(x) - (n-2) \cdot \int{\bigl(\csch^2(x) + 1\bigr) \cdot \csch^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} -\coth(x) \cdot \csch^{n-2}(x) - (n-2) \cdot \left( \int{\csch^2(x) \cdot \csch^{n-2}(x)\ dx} + \int{\csch^{n-2}(x)\ dx} \right) \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} -\coth(x) \cdot \csch^{n-2}(x) - (n-2) \cdot \int{\csch^n(x)\ dx} - (n-2) \cdot \int{\csch^{n-2}(x)\ dx} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Umschreiben von $\csch^n(x)$ zu $\csch^2(x) \cdot \csch^{n-2}(x)$ mithilfe von Potenzgesetz I-a
(2)
(3)
  • Herausziehen des konstanten Faktors $n-2$ mithilfe der Faktorregel für Integrale
  • Zusammenfassen von $\coth(x) \cdot \coth(x)$ zu $\coth^2(x)$ mithilfe von Potenzgesetz I-a
(4)
  • Ersetzen von $\coth^2(x)$ durch $\csch^2(x) + 1$
  • Dies folgt aus der Definition der Kotangens-hyperbolicus-Funktion, Potenzgesetz II-b und der hyperbolischen Identität $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$; es gilt:
    \begin{align*} \coth^2(x) &= \frac{\cosh^2(x)}{\sinh^2(x)} \\[0.75em] &= \frac{1 + \sinh^2(x)}{\sinh^2(x)} \\[0.75em] &= \frac{1}{\sinh^2(x)} + 1 \\[0.75em] &= \csch^2(x) + 1 \end{align*}
(5)
(6)
  • Zusammenfassen von $\csch^2(x) \cdot \csch^{n-2}(x)$ zu $\csch^n(x)$ mithilfe von Potenzgesetz I-a
  • Auflösen der Klammern

In der gefundenen Formel taucht das Integral $\int{\csch^n(x)\ dx}$ auf beiden Seiten mit unterschiedlicher Vielfachheit auf. Abschließendes Umstellen liefert die gesuchte Rekursionsformel:

\begin{align*} \int{\csch^n(x)\ dx} + (n-2) \cdot \int{\csch^n(x)\ dx} &\overset{(7)}{=} -\coth(x) \cdot \csch^{n-2}(x) - (n-2) \cdot \int{\csch^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] (n-1) \cdot \int{\csch^n(x)\ dx} &\overset{(8)}{=} -\coth(x) \cdot \csch^{n-2}(x) - (n-2) \cdot \int{\csch^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\csch^n(x)\ dx} &\overset{(9)}{=} -\frac{1}{n-1} \cdot \coth(x) \cdot \csch^{n-2}(x) - \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\csch^{n-2}(x)\ dx} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(7)
  • Addition von $(n-2) \cdot \int{\csch^n(x)\ dx}$ auf beiden Seiten der Gleichung
(8)
(9)
  • Division beider Seiten durch $(n-1)$

Die gesuchte Rekursionsformel für $n \gt 1$ lautet damit:

\[ \int{\csch^n(x)\ dx} = -\frac{1}{n-1} \cdot \coth(x) \cdot \csch^{n-2}(x) - \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\csch^{n-2}(x)\ dx} \]

Diese Formel führt das Integral $\int{\csch^n(x)\ dx}$ auf das Integral $\int{\csch^{n-2}(x)\ dx}$ zurück (für $n \gt 1$), dessen Exponent $n-2$ stets kleiner als der ursprüngliche Exponent $n$ ist. Durch wiederholtes Anwenden wird der Exponent schrittweise auf $1$ oder $2$ gebracht. Beide Fälle fungieren als Rekursionsanker bzw. Basisfall, da sie eine bekannte Stammfunktion besitzen – und erlauben somit ein vollständiges Auflösen des Integrals. (Hinweis: Der Exponent $0$ wäre ebenfalls ein möglicher Basisfall. Da jedoch bereits für den Fall $\csch^2$ eine Stammfunktion existiert, wäre dies lediglich zusätzlicher und unnötiger Rechenaufwand.)

\begin{align*} \int{\csch^2(x)\ dx} &= -\coth(x) + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{\csch(x)\ dx} &= \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl( \cosh(x)-1 \bigr) - \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl( \cosh(x)+1 \bigr) + \mathcal{C} \\[0.75em] &= \ln \left| \tanh\left(\frac{x}{2}\right) \right| + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{\csch^0(x)\ dx} &= \int{1\ dx} = x + \mathcal{C} \end{align*}

Herleitung der Integrationsregel von cschn(x) für n < -1

Für negative ganzzahlige Exponenten $n \lt -1$ können Potenzen der Kosekans-hyperbolicus-Funktion nicht direkt integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Stattdessen kann eine Rekursionsformel hergeleitet werden, die das Integral $\int{\csch^n(x)\ dx}$ auf ein einfacheres Integral zurückführt. Sie ergibt sich direkt durch algebraisches Umformen der bereits bekannten Formel für $n \gt 1$. Es gilt:

\begin{align*} \int{\csch^n(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} -\frac{1}{n-1} \cdot \coth(x) \cdot \csch^{n-2}(x) - \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\csch^{n-2}(x)\ dx} \\[1.5em] \Rightarrow\ \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\csch^{n-2}(x)\ dx} &\overset{(2)}{=} -\frac{1}{n-1} \cdot \coth(x) \cdot \csch^{n-2}(x) - \int{\csch^n(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\csch^{n-2}(x)\ dx} &\overset{(3)}{=} -\frac{1}{n-2} \cdot \coth(x) \cdot \csch^{n-2}(x) - \frac{n-1}{n-2} \cdot \int{\csch^{n}(x)\ dx} \\[1.5em] \Rightarrow\ \int{\csch^{m}(x)\ dx} &\overset{(4)}{=} -\frac{1}{m} \cdot \coth(x) \cdot \csch^{m}(x) - \frac{m+1}{m} \cdot \int{\csch^{m+2}(x)\ dx} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Rekursionsformel für den Fall $n \gt 1$
(2)
  • Umstellen nach $\frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\csch^{n-2}(x)\ dx}$
(3)
  • Multiplikation der Gleichung mit $\frac{n-1}{n-2}$
(4)
  • Substitution von $m = n-2$

Die erhaltene Formel führt das Integral $\int{\csch^m(x)\ dx}$ auf das Integral $\int{\csch^{m+2}(x)\ dx}$ zurück (für $m \lt -1$), dessen Exponent $m+2$ betragsmäßig stets kleiner als der ursprüngliche Exponent $m$ ist. Durch wiederholtes Anwenden wird der Exponent schrittweise auf $-1$ oder $0$ gebracht. Beide Fälle fungieren als Rekursionsanker bzw. Basisfall, da sie eine bekannte Stammfunktion besitzen – und erlauben somit ein vollständiges Auflösen des Integrals:

\begin{align*} \int{\csch^{-1}(x)\ dx} &= \cosh(x) + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{\csch^0(x)\ dx} &= \int{1\ dx} = x + \mathcal{C} \end{align*}