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Integrationsregel für Kosekans hyperbolicus
Inhalt
Herleitung der Stammfunktion von $\csch(x)$
TODOHerleitung der Stammfunktion von $\csch^{-1}(x)$
TODOHerleitung der Stammfunktion von $\csch^n(x)$
Die Stammfunktion für $\csch^n(x)$ (mit $n > 1$) wird mithilfe von partieller Integration hergeleitet:
\begin{align*} \int{\csch^n(x)\ dx} &= \int{\csch^2(x) \cdot \csch^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &= -\coth(x) \cdot \csch^{n-2}(x) - \int{-\coth(x) \cdot (n-2) \cdot \csch^{n-3}(x) \cdot (-1) \cdot \csch(x) \cdot \coth(x)\ dx} \\[0.75em] &= -\coth(x) \cdot \csch^{n-2}(x) - (n-2) \cdot \int{\coth^2(x) \cdot \csch^{n-2}(x)\ dx}. \end{align*}
Aufgrund der Identitäten $\coth(x) = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)}$, $\csch(x) = \frac{1}{\sinh(x)}$ und $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ gilt die folgende Gleichheit:
\[ \coth^2(x) = {\left( \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} \right)}^2 = \cosh^2(x) \cdot \csch^2(x) = \left( 1 + \sinh^2(x) \right) \cdot \csch^2(x) = \csch^2(x) + \sinh^2(x) \cdot \csch^2(x) = \csch^2(x) + 1 \]
Einsetzen in das umgeformte Integral und Aufteilen auf zwei Integrale ergibt:
\begin{align*} \int{\csch^n(x)\ dx} &= -\coth(x) \cdot \csch^{n-2}(x) - (n-2) \cdot \int{{\left( \csch^2(x) + 1 \right)} \cdot \csch^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &= -\coth(x) \cdot \csch^{n-2}(x) - (n-2) \cdot \int{\csch^2(x) \cdot \csch^{n-2}(x)\ dx} - (n-2) \cdot \int{\csch^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &= -\coth(x) \cdot \csch^{n-2}(x) - (n-2) \cdot \int{\csch^n(x)\ dx} - (n-2) \cdot \int{\csch^{n-2}(x)\ dx}. \end{align*}
Anschließend wird nach $\int{\csch^n(x)\ dx}$ umgestellt:
\begin{align*} \bigl(1 + (n-2)\bigr) \cdot \int{\csch^n(x)\ dx} &= -\coth(x) \cdot \csch^{n-2}(x) - (n-2) \cdot \int{\csch^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] \bigl(n - 1\bigr) \cdot \int{\csch^n(x)\ dx} &= -\coth(x) \cdot \csch^{n-2}(x) - (n-2) \cdot \int{\csch^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\csch^n(x)\ dx} &= -\frac{1}{n-1} \cdot \coth(x) \cdot \csch^{n-2}(x) - \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\csch^{n-2}(x)\ dx} \end{align*}
Herleitung der Stammfunktion für $\csch^{-n}(x)$
Die Stammfunktion für $\csch^{-n}(x)$ kann durch Umstellen der Formel für $\csch^n(x)$ hergeleitet werden.
\[ \int{\csch^n(x)\ dx} = -\frac{1}{n-1} \cdot \coth(x) \cdot \csch^{n-2}(x) - \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\csch^{n-2}(x)\ dx} \]
Umstellen nach $\int{\csch^{n-2}(x)\ dx}$:
\begin{align*} \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\csch^{n-2}(x)\ dx} &= -\frac{1}{n-1} \cdot \coth(x) \cdot \csch^{n-2}(x) - \int{\csch^n(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\csch^{n-2}(x)\ dx} &= -\frac{1}{n-2} \cdot \coth(x) \cdot \csch^{n-2}(x) - \frac{n-1}{n-2} \cdot \int{\csch^n(x)\ dx} \end{align*}
Substitution $m=n-2$:
\[ \int{\csch^m(x)\ dx} = -\frac{1}{m} \cdot \coth(x) \cdot \csch^{m}(x) - \frac{m+1}{m} \cdot \int{\csch^{m+2}(x)\ dx} \]