Nachlesen
Ableitungsregel für Kosekans hyperbolicus
Inhalt
Herleitung
Die Bestimmung der Ableitung von $\csch(x)$ wird ausgehend von der Definition $\csch(x) = \frac{1}{\sinh(x)}$ vorgenommen.
Es gilt:
\begin{align*} {\Bigl[ \csch(x) \Bigr]}' &= {\left[ \frac{1}{\sinh(x)} \right]}' \\[0.75em] &= \frac{{\left[ 1 \right]}' \cdot \sinh(x) - 1 \cdot {\left[ \sinh(x) \right]}'}{\sinh^2(x)} \\[0.75em] &= \frac{0 \cdot \sinh(x) - 1 \cdot \cosh(x)}{\sinh^2(x)} \\[0.75em] &= -\frac{\cosh(x)}{\sinh^2(x)} \end{align*}
Variante 1:
\begin{align*} {\Bigl[ \csch(x) \Bigr]}' &= -\frac{1}{\sinh(x)} \cdot \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} \\[0.75em] &= -\csch(x) \cdot \coth(x) \end{align*}
Variante 2:
\begin{align*} {\Bigl[ \csch(x) \Bigr]}' &= -\frac{\frac{1}{\sinh^2(x)}}{\frac{1}{\cosh(x)}} \\[0.75em] &= -\frac{\csch^2(x)}{\sech(x)} \end{align*}