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Kosinus hyperbolicus (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Kosinus-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: cosh) lässt sich direkt durch Umkehrung der Ableitungsregel der Sinus-hyperbolicus-Funktion oder aus der Definition der Kosinus-hyperbolicus-Funktion über die Exponentialfunktion bestimmen. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Herleitung der Stammfunktion, demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen und beschäftigt sich mit den Integrationsregeln für ganzzahlige Potenzen der Kosinus-hyperbolicus-Funktion.

Grundlagen

Die Kosinus-hyperbolicus-Funktion ist eine der grundlegenden hyperbolischen Funktionen. Sie kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mithilfe der Exponentialfunktion definiert werden.

\[ \cosh(x) = \frac{1}{2} \cdot \Bigl( e^x + e^{-x} \Bigr) \]

Aus der Ableitungsregel der Sinus-hyperbolicus-Funktion folgt zudem, dass es sich bei $\cosh(x)$ um die Ableitung von $\sinh(x)$ handelt.

\[ \frac{d}{dx} \Bigl[ \sinh(x) \Bigr] = \cosh(x) \]

Integrationsregel

Die Stammfunktion der Kosinus-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: cosh) ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:

\[ \int{\cosh(x)\ dx} = \sinh(x) + \mathcal{C} \]

Für Potenzen der Kosinus-hyperbolicus-Funktion mit ganzzahligen Exponenten existieren darüber hinaus die folgenden Integrationsregeln:

\begin{align*} \int{\cosh^{-1}(x)\ dx} &= \arctan\bigl( \sinh(x) \bigr) + \mathcal{C} \\[0.75em] &= 2\arctan\bigl( e^x \bigr) + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{\cosh^n(x)\ dx} &= \frac{1}{n} \cdot \sinh(x) \cdot \cosh^{n-1}(x) + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\cosh^{n-2}(x)\ dx} \quad(\text{für } n \gt 1) \\[0.75em] \int{\cosh^n(x)\ dx} &= -\frac{1}{n+1} \cdot \sinh(x) \cdot \cosh^{n+1}(x) + \frac{n+2}{n+1} \cdot \int{\cosh^{n+2}(x)\ dx} \quad(\text{für } n \lt -1) \end{align*}

Hinweis: Bei $\mathcal{C}$ handelt es sich wie üblich um die Integrationskonstante. Bei $\cosh^{-1}$ handelt es sich um den Kehrwert $\frac{1}{\cosh}$ der Kosinus-hyperbolicus-Funktion – und nicht um die Areakosinus-hyperbolicus-Funktion.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Kosinus-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ f(x) = \cosh(8x) \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $f(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=8x$ substituiert, woraus sich $dt = 8\ dx$ bzw. $dx = \frac{1}{8}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{f(x)\ dx} &= \int{\cosh(8x)\ dx} \\[0.75em] &= \int{\cosh(t) \cdot \frac{1}{8}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{8} \cdot \int{\cosh(t)\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{8} \cdot \sinh(t) \\[0.75em] &= \frac{1}{8} \cdot \sinh(8x) + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Kosinus-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ g(x) = \cosh\left(x^2 + 4\right) \cdot x \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $g(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=x^2+4$ substituiert, woraus sich $dt = 2x\ dx$ bzw. $x\ dx = \frac{1}{2}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{g(x)\ dx} &= \int{\cosh\left(x^2+4\right) \cdot x\ dx} \\[0.75em] &= \int{\cosh(t) \cdot \frac{1}{2}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \int{\cosh(t)\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \sinh(t) \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \sinh\left(x^2+4\right) + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 3

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Kosinus-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ h(x) = \cosh^4(x) \]

Die Funktion $\cosh^4(x)$ kann nicht unmittelbar integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Das Integral kann jedoch durch zweifaches Anwenden der Rekursionsformel für $n \gt 1$ zunächst umgeformt (bzw. vereinfacht) und anschließend aufgelöst werden, nachdem der Exponent auf $0$ reduziert wurde. Es gilt:

\begin{align*} \int{h(x)\ dx} &\overset{\phantom{(n=4)}}{=} \int{\cosh^4(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(n=4)}{=} \frac{1}{4} \cdot \sinh(x) \cdot \cosh^3(x) + \frac{3}{4} \cdot \int{\cosh^2(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(n=2)}{=} \frac{1}{4} \cdot \sinh(x) \cdot \cosh^3(x) + \frac{3}{4} \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot \sinh(x) \cdot \cosh(x) + \frac{1}{2} \cdot \int{\cosh^0(x)\ dx} \right) \\[0.75em] &\overset{(n=0)}{=} \frac{1}{4} \cdot \sinh(x) \cdot \cosh^3(x) + \frac{3}{4} \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot \sinh(x) \cdot \cosh(x) + \frac{1}{2} \cdot x \right) \\[0.75em] &\overset{\phantom{(n=0)}}{=} \frac{1}{4} \cdot \sinh(x) \cdot \cosh^3(x) + \frac{3}{8} \cdot \sinh(x) \cdot \cosh(x) + \frac{3}{8} \cdot x + \mathcal{C} \end{align*}

Herleitung der Integrationsregel von cosh(x)

Die Herleitung der Integrationsregel bzw. der Stammfunktion der Kosinus-hyperbolicus-Funktion erfolgt durch Umkehrung der Ableitungsregel der Sinus-hyperbolicus-Funktion. Es gilt:

\begin{align*} \cosh(x) &\overset{(1)}{=} \frac{d}{dx}\Bigl[\sinh(x)\Bigr] \\[0.75em] \Rightarrow\quad\int{\cosh(x)\ dx} &\overset{(2)}{=} \int{\frac{d}{dx}\Bigl[\sinh(x)\Bigr]\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \sinh(x) + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
  • Integration beider Seiten der Gleichung nach $x$
(3)
  • Auswerten des Integrals: Die Stammfunktion von $\frac{d}{dx}\bigl[f(x)\bigr]$ ist $f(x)$
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Weitere Herleitung über die Exponentialdarstellung

Die Stammfunktion der Kosinus-hyperbolicus-Funktion lässt sich alternativ auch mithilfe der Definition der Kosinus-hyperbolicus-Funktion über die Exponentialfunktion herleiten. Es gilt:

\begin{align*} \int{\cosh(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{\frac{1}{2} \cdot \bigl(e^x + e^{-x}\bigr)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \frac{1}{2} \cdot \int{e^x\ dx} + \frac{1}{2} \cdot \int{e^{-x}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \frac{1}{2} \cdot e^x - \frac{1}{2} \cdot e^{-x} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \frac{1}{2} \cdot \bigl( e^x - e^{-x} \bigr) \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \sinh(x) + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)

Herleitung der Integrationsregel von cosh-1(x)

Die Stammfunktion von $\cosh^{-1}(x) = \frac{1}{\cosh(x)}$ lässt sich mithilfe einer Integration durch Substitution bestimmen. Zunächst wird die Funktion umgeformt:

\begin{align*} \int{\cosh^{-1}(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{\frac{1}{\cosh(x)}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \int{\frac{\cosh(x)}{\cosh^2(x)}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \int{\frac{\cosh(x)}{1 + \sinh^2(x)}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \int{\frac{1}{1 + t^2}\ dt} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \arctan(t) \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \arctan\bigl(\sinh(x)\bigr) + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Umschreiben der Potenz mithilfe der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
(2)
  • Erweitern mit $\cosh(x)$
(3)
  • Ersetzen von $\cosh^2(x)$ durch $1 + \sinh^2(x)$ mithilfe der hyperbolischen Identität $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$
(4)
(5)
(6)
  • Resubstitution von $t = \sinh(x)$
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Weitere Form der Stammfunktion

Die erhaltene Stammfunktion lässt sich mithilfe der Definition der Sinus-hyperbolicus-Funktion über die Exponentialfunktion in die folgende äquivalente Form überführen:

\begin{align*} \int{\cosh^{-1}(x)\ dx} &\overset{(6)}{=} \arctan\bigl(\sinh(x)\bigr) \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} \arctan\left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right) \\[0.75em] &\overset{(8)}{=} \arctan\left(\frac{e^{2x} - 1}{2e^x}\right) \\[0.75em] &\overset{(9)}{=} 2\arctan\bigl(e^x\bigr) + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(7)
(8)
  • Erweitern von Zähler und Nenner mit $e^x$
(9)
  • Anwenden der Arkustangens-Halbwinkelidentität:
    \[ \arctan\left(\frac{u^2 - 1}{2u}\right) = 2\arctan(u) - \frac{\pi}{2} \]
  • Der konstante Term $-\frac{\pi}{2}$ wird in die Integrationskonstante $\mathcal{C}$ absorbiert

Hinweis: Bei $\cosh^{-1}$ handelt es sich um die Sekans-hyperbolicus-Funktion $\operatorname{sech}$. Bei der Integrationsregel für $\cosh^{-1}$ handelt es sich somit ebenfalls um die Integrationsregel der Sekans-hyperbolicus-Funktion.

Herleitung der Integrationsregel von coshn(x) für n > 1

Für positive ganzzahlige Exponenten $n \gt 1$ können Potenzen der Kosinus-hyperbolicus-Funktion nicht direkt integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Stattdessen kann eine Rekursionsformel hergeleitet werden, die das Integral $\int{\cosh^n(x)\ dx}$ auf das einfachere Integral $\int{\cosh^{n-2}(x)\ dx}$ zurückführt. Die Herleitung erfolgt mithilfe von partieller Integration.

\begin{align*} \int{\cosh^n(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{\cosh(x) \cdot \cosh^{n-1}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \sinh(x) \cdot \cosh^{n-1}(x) - \int{\sinh(x) \cdot (n-1) \cdot \cosh^{n-2}(x) \cdot \sinh(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \sinh(x) \cdot \cosh^{n-1}(x) - (n-1) \cdot \int{\sinh^2(x) \cdot \cosh^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \sinh(x) \cdot \cosh^{n-1}(x) - (n-1) \cdot \int{\bigl(\cosh^2(x) - 1\bigr) \cdot \cosh^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \sinh(x) \cdot \cosh^{n-1}(x) - (n-1) \cdot \left( \int{\cosh^2(x) \cdot \cosh^{n-2}(x)\ dx} - \int{\cosh^{n-2}(x)\ dx} \right) \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \sinh(x) \cdot \cosh^{n-1}(x) - (n-1) \cdot \int{\cosh^n(x)\ dx} + (n-1) \cdot \int{\cosh^{n-2}(x)\ dx} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Umschreiben von $\cosh^n(x)$ zu $\cosh(x) \cdot \cosh^{n-1}(x)$ mithilfe von Potenzgesetz I-a
(2)
(3)
  • Herausziehen des konstanten Faktors $(n-1)$ mithilfe der Faktorregel für Integrale
  • Zusammenfassen von $\sinh(x) \cdot \sinh(x)$ zu $\sinh^2(x)$ mithilfe von Potenzgesetz I-a
(4)
  • Ersetzen von $\sinh^2(x)$ durch $\cosh^2(x) - 1$ mithilfe der hyperbolischen Identität $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$
(5)
(6)
  • Zusammenfassen von $\cosh^2(x) \cdot \cosh^{n-2}(x)$ zu $\cosh^n(x)$ mithilfe von Potenzgesetz I-a
  • Auflösen der Klammern

In der gefundenen Formel taucht das Integral $\int{\cosh^n(x)\ dx}$ auf beiden Seiten mit unterschiedlicher Vielfachheit auf. Abschließendes Umstellen nach dem Integral liefert die gesuchte Rekursionsformel:

\begin{align*} \int{\cosh^n(x)\ dx} + (n-1) \cdot \int{\cosh^n(x)\ dx} &\overset{(7)}{=} \sinh(x) \cdot \cosh^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \int{\cosh^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] n \cdot \int{\cosh^n(x)\ dx} &\overset{(8)}{=} \sinh(x) \cdot \cosh^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \int{\cosh^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\cosh^n(x)\ dx} &\overset{(9)}{=} \frac{1}{n} \cdot \sinh(x) \cdot \cosh^{n-1}(x) + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\cosh^{n-2}(x)\ dx} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(7)
  • Addition von $(n-1) \cdot \int{\cosh^n(x)\ dx}$ auf beiden Seiten der Gleichung
(8)
  • Ausklammern von $\int{\cosh^n(x)\ dx}$ auf der linken Seite der Gleichung mithilfe des Distributivgesetzes
(9)
  • Division beider Seiten durch $n$

Die gesuchte Rekursionsformel für $n \gt 1$ lautet damit:

\[ \int{\cosh^n(x)\ dx} = \frac{1}{n} \cdot \sinh(x) \cdot \cosh^{n-1}(x) + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\cosh^{n-2}(x)\ dx} \]

Diese Formel führt das Integral $\int{\cosh^n(x)\ dx}$ auf das Integral $\int{\cosh^{n-2}(x)\ dx}$ zurück (für $n \gt 1$), dessen Exponent $n-2$ stets kleiner als der ursprüngliche Exponent $n$ ist. Durch wiederholtes Anwenden wird der Exponent schrittweise auf $0$ oder $1$ gebracht. Beide Fälle fungieren als Rekursionsanker bzw. Basisfall, da sie eine bekannte Stammfunktion besitzen – und erlauben somit ein vollständiges Auflösen des Integrals:

\begin{align*} \int{\cosh(x)\ dx} &= \sinh(x) + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{\cosh^0(x)\ dx} &= \int{1\ dx} = x + \mathcal{C} \end{align*}

Herleitung der Integrationsregel von coshn(x) für n < -1

Für negative ganzzahlige Exponenten $n \lt -1$ können Potenzen der Kosinus-hyperbolicus-Funktion nicht direkt integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Stattdessen kann eine Rekursionsformel hergeleitet werden, die das Integral $\int{\cosh^n(x)\ dx}$ auf ein einfacheres Integral zurückführt. Sie ergibt sich direkt durch algebraisches Umformen der bereits bekannten Formel für $n \gt 1$. Es gilt:

\begin{align*} \int{\cosh^n(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \frac{1}{n} \cdot \sinh(x) \cdot \cosh^{n-1}(x) + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\cosh^{n-2}(x)\ dx} \\[1.55em] \Rightarrow \frac{n-1}{n} \cdot \int{\cosh^{n-2}(x)\ dx} &\overset{(2)}{=} -\frac{1}{n} \cdot \sinh(x) \cdot \cosh^{n-1}(x) + \int{\cosh^n(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\cosh^{n-2}(x)\ dx} &\overset{(3)}{=} -\frac{1}{n-1} \cdot \sinh(x) \cdot \cosh^{n-1}(x) + \frac{n}{n-1} \cdot \int{\cosh^{n}(x)\ dx} \\[1.5em] \Rightarrow\ \int{\cosh^{m}(x)\ dx} &\overset{(4)}{=} -\frac{1}{m+1} \cdot \sinh(x) \cdot \cosh^{m+1}(x) + \frac{m+2}{m+1} \cdot \int{\cosh^{m+2}(x)\ dx} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Rekursionsformel für den Fall $n \gt 1$
(2)
  • Umstellen nach $\frac{n-1}{n} \cdot \int{\cosh^{n-2}(x)\ dx}$
(3)
  • Multiplikation der Gleichung mit $\frac{n}{n-1}$
(4)
  • Substitution von $m = n-2$

Die erhaltene Formel führt das Integral $\int{\cosh^m(x)\ dx}$ auf das Integral $\int{\cosh^{m+2}(x)\ dx}$ zurück (für $m \lt -1$), dessen Exponent $m+2$ betragsmäßig stets kleiner als der ursprüngliche Exponent $m$ ist. Durch wiederholtes Anwenden wird der Exponent schrittweise auf $-1$ oder $0$ gebracht. Beide Fälle fungieren als Rekursionsanker bzw. Basisfall, da sie eine bekannte Stammfunktion besitzen – und erlauben somit ein vollständiges Auflösen des Integrals:

\begin{align*} \int{\cosh^{-1}(x)\ dx} &= \arctan\bigl(\sinh(x)\bigr) + \mathcal{C} \\[0.75em] &= 2\arctan\bigl(e^x\bigr) + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{\cosh^0(x)\ dx} &= \int{1\ dx} = x + \mathcal{C} \end{align*}