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Integrationsregel für Kosinus hyperbolicus

Inhalt

Herleitung der Stammfunktion für $\cosh(x)$

\begin{align*} \int{\cosh(x)\ dx} &= \int{\frac{1}{2} \left( e^x + e^{-x} \right)\ dx} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \int{e^x\ dx} + \frac{1}{2} \cdot \int{e^{-x}\ dx} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot e^x + \frac{1}{2} \cdot \left( -e^{-x} \right) \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( e^x - e^{-x} \right) \\[0.75em] &= \sinh(x) \end{align*}

Zunächst wird die Ausgangsfunktion mit $\cosh(x)$ erweitert und unter Verwendung der Identität $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ umgeformt:

\begin{align*} \int{\frac{1}{\cosh(x)}\ dx} &= \int{\frac{\cosh(x)}{\cosh^2(x)}\ dx} \\[0.75em] &= \int{\frac{\cosh(x)}{1 + \sinh^2(x)}\ dx}. \end{align*}

Anschließend wird mit $t = \sinh(x)$ substituiert. Aus $t = \sinh(x)$ folgt $dt = \cosh(x)\ dx$. Die entstandene rationale Funktion wird integriert:

\begin{align*} \int{\frac{\cosh(x)}{1 - \sinh^2(x)}\ dx} &= \int{\frac{1}{1 + t^2}\ dt} \\[0.75em] &= \arctan(t). \end{align*}

Abschließende Resubstitution liefert das gewünschte Ergebnis:

\int{\frac{1}{\cosh(x)}\ dx} = \arctan\left( \sinh(x) \right).

Die Stammfunktion für $\cosh^n(x)$ (mit $n > 1$) wird mithilfe von partieller Integration hergeleitet:

\begin{align*} \int{\cosh^n(x)\ dx} &= \int{\cosh(x) \cdot \cosh^{n-1}(x)\ dx} \\[0.75em] &= \sinh(x) \cdot \cosh^{n-1}(x) - \int{\sinh(x) \cdot (n-1) \cdot \cosh^{n-2}(x) \cdot \sinh(x)\ dx} \\[0.75em] &= \sinh(x) \cdot \cosh^{n-1}(x) - (n-1) \cdot \int{\sinh^2(x) \cdot \cosh^{n-2}(x)\ dx}. \end{align*}

Unter Verwendung der Identität $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ folgt:

\begin{align*} \int{\cosh^n(x)\ dx} &= \sinh(x) \cdot \cosh^{n-1}(x) - (n-1) \cdot \int{{\left( \cosh^2(x) - 1 \right)} \cdot \cosh^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &= \sinh(x) \cdot \cosh^{n-1}(x) - (n-1) \cdot \left( \int{\cosh^2(x) \cdot \cosh^{n-2}(x)\ dx} - \int{\cosh^{n-2}(x)\ dx} \right) \\[0.75em] &= \sinh(x) \cdot \cosh^{n-1}(x) - (n-1) \cdot \int{\cosh^n(x)\ dx} + (n-1) \cdot \int{\cosh^{n-2}(x)\ dx}. \end{align*}

Anschließend wird nach $\int{\cosh^n(x)\ dx}$ umgestellt:

\begin{align*} \bigl(1 + (n-1)\bigr) \cdot \int{\cosh^n(x)\ dx} &= \sinh(x) \cdot \cosh^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \int{\cosh^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] n \cdot \int{\cosh^n(x)\ dx} &= \sinh(x) \cdot \cosh^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \int{\cosh^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\cosh^n(x)\ dx} &= \frac{1}{n} \cdot \sinh(x) \cdot \cosh^{n-1}(x) + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\cosh^{n-2}(x)\ dx} \end{align*}

Die Stammfunktion für $\cosh^n(x)$ (mit $n < -1$) kann durch Umstellen der Formel für $n > 1$ hergeleitet werden.

\int{\cosh^n(x)\ dx} = \frac{1}{n} \cdot \sinh(x) \cdot \cosh^{n-1}(x) + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\cosh^{n-2}(x)\ dx}

Umstellen nach $\int{\cosh^{n-2}(x)\ dx}$:

\begin{align*} \frac{n-1}{n} \cdot \int{\cosh^{n-2}(x)\ dx} &= -\frac{1}{n} \cdot \sinh(x) \cdot \cosh^{n-1}(x) + \int{\cosh^n(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\cosh^{n-2}(x)\ dx} &= -\frac{1}{n-1} \cdot \sinh(x) \cdot \cosh^{n-1}(x) + \frac{n}{n-1} \int{\cosh^n(x)\ dx} \end{align*}

Substitution $m=n-2$:

\int{\cosh^{m}(x)\ dx} = -\frac{1}{m+1} \cdot \sinh(x) \cdot \cosh^{m+1}(x) + \frac{m+2}{m+1} \int{\cosh^{m+2}(x)\ dx}