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Ableitungsregel für Kotangens hyperbolicus

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Herleitung

Die Bestimmung der Ableitung von $\coth(x)$ wird ausgehend von der Definition $\coth(x) = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)}$ vorgenommen.

Es gilt:

\begin{align*} {\Bigl[ \coth(x) \Bigr]}' &= {\left[ \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} \right]}' \\[0.75em] &= \frac{{\left[ \cosh(x) \right]}' \cdot \sinh(x) - \cosh(x) \cdot {\left[ \sinh(x) \right]}'}{\sinh^2(x)} \\[0.75em] &= \frac{\sinh(x) \cdot \sinh(x) - \cosh(x) \cdot \cosh(x)}{\sinh^2(x)} \\[0.75em] &= \frac{\sinh^2(x) - \cosh^2(x)}{\sinh^2(x)} \\[0.75em] &= \frac{- \left( \cosh^2(x) - \sinh^2(x) \right)}{\sinh^2(x)} \end{align*}

Unter Verwendung der Identität $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ folgt direkt:

{\Bigl[ \coth(x) \Bigr]}' = \frac{-1}{\sinh^2(x)}

Alternative:

\begin{align*} {\Bigl[ \coth(x) \Bigr]}' &= \frac{\sinh^2(x) - \cosh^2(x)}{\sinh^2(x)} \\[0.75em] &= \frac{\sinh^2(x)}{\sinh^2(x)} - \frac{\cosh^2(x)}{\sinh^2(x)} \\[0.75em] &= 1 - {\left( \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} \right)}^2 \\[0.75em] &= 1 - \coth^2(x) \end{align*}