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Sekans hyperbolicus (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Sekans-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: sech) lässt sich mithilfe einer Integration durch Substitution bestimmen. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Herleitung der Stammfunktion, demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen und beschäftigt sich mit den Integrationsregeln für ganzzahlige Potenzen der Sekans-hyperbolicus-Funktion.

Grundlagen

Die Sekans-hyperbolicus-Funktion ist eine der grundlegenden hyperbolischen Funktionen. Sie kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ als Kehrwert der Kosinus-hyperbolicus-Funktion dargestellt werden.

\[ \sech(x) = \frac{1}{\cosh(x)} \]

Integrationsregel

Die Stammfunktion der Sekans-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: sech) ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:

\begin{align*} \int{\sech(x)\ dx} &= \arctan\bigl(\sinh(x)\bigr) + \mathcal{C} \\[0.75em] &= 2\arctan\bigl(e^x\bigr) + \mathcal{C} \end{align*}

Für Potenzen der Sekans-hyperbolicus-Funktion mit ganzzahligen Exponenten existieren darüber hinaus die folgenden Integrationsregeln:

\begin{align*} \int{\sech^{-1}(x)\ dx} &= \sinh(x) + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{\sech^n(x)\ dx} &= \frac{1}{n-1} \cdot \tanh(x) \cdot \sech^{n-2}(x) + \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\sech^{n-2}(x)\ dx} \quad(\text{für } n \gt 1) \\[0.75em] \int{\sech^n(x)\ dx} &= -\frac{1}{n} \cdot \tanh(x) \cdot \sech^n(x) + \frac{n+1}{n} \cdot \int{\sech^{n+2}(x)\ dx} \quad(\text{für } n \lt -1) \end{align*}

Hinweis: Bei $\mathcal{C}$ handelt es sich wie üblich um die Integrationskonstante. Bei $\sech^{-1}$ handelt es sich um den Kehrwert $\frac{1}{\sech}$ der Sekans-hyperbolicus-Funktion – und nicht um die Areasekans-hyperbolicus-Funktion.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Sekans-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ f(x) = \sech(7x) \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $f(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=7x$ substituiert, woraus sich $dt = 7\ dx$ bzw. $dx = \frac{1}{7}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{f(x)\ dx} &= \int{\sech(7x)\ dx} \\[0.75em] &= \int{\sech(t) \cdot \frac{1}{7}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{7} \cdot \int{\sech(t)\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{7} \cdot \arctan\bigl( \sinh(t) \bigr) \\[0.75em] &= \frac{1}{7} \cdot \arctan\bigl( \sinh(7x) \bigr) + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Sekans-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ g(x) = \sech\left(x^2 + 8\right) \cdot x \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $g(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=x^2+8$ substituiert, woraus sich $dt = 2x\ dx$ bzw. $x\ dx = \frac{1}{2}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{g(x)\ dx} &= \int{\sech\left(x^2+8\right) \cdot x\ dx} \\[0.75em] &= \int{\sech(t) \cdot \frac{1}{2}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \int{\sech(t)\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \arctan\bigl( \sinh(t) \bigr) \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \arctan\bigl( \sinh\left( x^2+8 \right) \bigr) + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 3

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Sekans-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ h(x) = \sech^4(x) \]

Die Funktion $\sech^4(x)$ kann nicht unmittelbar integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Das Integral kann jedoch durch Anwenden der Rekursionsformel für $n \gt 1$ zunächst umgeformt (bzw. vereinfacht) und anschließend aufgelöst werden, nachdem der Exponent auf $2$ reduziert wurde. Es gilt:

\begin{align*} \int{h(x)\ dx} &\overset{\phantom{(n=4)}}{=} \int{\sech^4(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(n=4)}{=} \frac{1}{3} \cdot \tanh(x) \cdot \sech^2(x) + \frac{2}{3} \cdot \int{\sech^2(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(n=2)}{=} \frac{1}{3} \cdot \tanh(x) \cdot \sech^2(x) + \frac{2}{3} \cdot \tanh(x) + \mathcal{C} \end{align*}

Hierbei wurde im letzten Schritt verwendet, dass $\int{\sech^2(x)\ dx} = \tanh(x) + \mathcal{C}$ gilt, was sich direkt aus der Ableitungsregel der Tangens-hyperbolicus-Funktion ergibt.

Herleitung der Integrationsregel von sech(x)

Die Herleitung der Integrationsregel bzw. der Stammfunktion der Sekans-hyperbolicus-Funktion erfolgt mithilfe einer Integration durch Substitution. Zunächst wird die Funktion umgeformt:

\begin{align*} \int{\sech(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{\frac{1}{\cosh(x)}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \int{\frac{\cosh(x)}{\cosh^2(x)}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \int{\frac{\cosh(x)}{1 + \sinh^2(x)}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \int{\frac{1}{1 + t^2}\ dt} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \arctan(t) \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \arctan\bigl(\sinh(x)\bigr) + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
  • Erweitern mit $\cosh(x)$
(3)
  • Ersetzen von $\cosh^2(x)$ durch $1 + \sinh^2(x)$ mithilfe der hyperbolischen Identität $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$
(4)
(5)
(6)
  • Resubstitution von $t = \sinh(x)$
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Weitere Form der Stammfunktion

Die erhaltene Stammfunktion lässt sich mithilfe der Definition der Sinus-hyperbolicus-Funktion über die Exponentialfunktion in die folgende äquivalente Form überführen:

\begin{align*} \int{\sech(x)\ dx} &\overset{(6)}{=} \arctan\bigl(\sinh(x)\bigr) \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} \arctan\left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right) \\[0.75em] &\overset{(8)}{=} \arctan\left(\frac{e^{2x} - 1}{2e^x}\right) \\[0.75em] &\overset{(9)}{=} 2\arctan\bigl(e^x\bigr) + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(7)
(8)
  • Erweitern von Zähler und Nenner mit $e^x$
(9)
  • Anwenden der Arkustangens-Halbwinkelidentität:
    \[ \arctan\left(\frac{u^2 - 1}{2u}\right) = 2\arctan(u) - \frac{\pi}{2} \]
  • Der konstante Term $-\frac{\pi}{2}$ wird in die Integrationskonstante $\mathcal{C}$ absorbiert

Herleitung der Integrationsregel von sech-1(x)

Bei $\sech^{-1}(x) = \frac{1}{\sech(x)}$ handelt es sich um die Kosinus-hyperbolicus-Funktion $\cosh$. Die Integrationsregel für $\sech^{-1}$ ist daher identisch mit der Integrationsregel der Kosinus-hyperbolicus-Funktion:

\begin{align*} \int{\sech^{-1}(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{\frac{1}{\sech(x)}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \int{\frac{1}{\frac{1}{\cosh(x)}}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \int{\cosh(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \sinh(x) + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Umschreiben der Potenz mithilfe der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
(2)
(3)
  • Auflösen des Doppelbruchs
(4)

Herleitung der Integrationsregel von sechn(x) für n > 1

Für den ganzzahligen Exponenten $n=2$ ergibt sich die Stammfunktion der Sekans-hyperbolicus-Funktion unmittelbar aus der Umkehrung der Ableitungsregel der Tangens-hyperbolicus-Funktion. Es gilt:

\[ \int{\sech^2(x)\ dx} = \tanh(x) + \mathcal{C} \]

Für positive ganzzahlige Exponenten $n \gt 2$ können Potenzen der Sekans-hyperbolicus-Funktion nicht direkt integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Stattdessen kann eine Rekursionsformel hergeleitet werden, die das Integral $\int{\sech^n(x)\ dx}$ auf das einfachere Integral $\int{\sech^{n-2}(x)\ dx}$ zurückführt. Die Herleitung erfolgt mithilfe von partieller Integration.

\begin{align*} \int{\sech^n(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{\sech^2(x) \cdot \sech^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \tanh(x) \cdot \sech^{n-2}(x) - \int{\tanh(x) \cdot \bigl( -(n-2) \bigr) \cdot \sech^{n-2}(x) \cdot \tanh(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \tanh(x) \cdot \sech^{n-2}(x) + (n-2) \cdot \int{\tanh^2(x) \cdot \sech^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \tanh(x) \cdot \sech^{n-2}(x) + (n-2) \cdot \int{\bigl(1 - \sech^2(x) \bigr) \cdot \sech^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \tanh(x) \cdot \sech^{n-2}(x) + (n-2) \cdot \left( \int{\sech^{n-2}(x)\ dx} - \int{\sech^2(x) \cdot \sech^{n-2}(x)\ dx} \right) \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \tanh(x) \cdot \sech^{n-2}(x) + (n-2) \cdot \int{\sech^{n-2}(x)\ dx} - (n-2) \cdot \int{\sech^n(x)\ dx} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Umschreiben von $\sech^n(x)$ zu $\sech^2(x) \cdot \sech^{n-2}(x)$ mithilfe von Potenzgesetz I-a
(2)
(3)
  • Herausziehen des konstanten Faktors $-(n-2)$ mithilfe der Faktorregel für Integrale
  • Zusammenfassen von $\tanh(x) \cdot \tanh(x)$ zu $\tanh^2(x)$ mithilfe von Potenzgesetz I-a
(4)
  • Ersetzen von $\tanh^2(x)$ durch $1 - \sech^2(x)$
  • Dies folgt aus der Definition der Tangens-hyperbolicus-Funktion, Potenzgesetz II-b und der hyperbolischen Identität $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$; es gilt:
    \begin{align*} \tanh^2(x) &= \frac{\sinh^2(x)}{\cosh^2(x)} \\[0.75em] &= \frac{\cosh^2(x) - 1}{\cosh^2(x)} \\[0.75em] &= 1 - \frac{1}{\cosh^2(x)} \\[0.75em] &= 1 - \sech^2(x) \end{align*}
(5)
(6)
  • Zusammenfassen von $\sech^2(x) \cdot \sech^{n-2}(x)$ zu $\sech^n(x)$ mithilfe von Potenzgesetz I-a
  • Auflösen der Klammern

In der gefundenen Formel taucht das Integral $\int{\sech^n(x)\ dx}$ auf beiden Seiten mit unterschiedlicher Vielfachheit auf. Abschließendes Umstellen liefert die gesuchte Rekursionsformel:

\begin{align*} \int{\sech^n(x)\ dx} + (n-2) \cdot \int{\sech^n(x)\ dx} &\overset{(7)}{=} \tanh(x) \cdot \sech^{n-2}(x) + (n-2) \cdot \int{\sech^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] (n-1) \cdot \int{\sech^n(x)\ dx} &\overset{(8)}{=} \tanh(x) \cdot \sech^{n-2}(x) + (n-2) \cdot \int{\sech^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\sech^n(x)\ dx} &\overset{(9)}{=} \frac{1}{n-1} \cdot \tanh(x) \cdot \sech^{n-2}(x) + \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\sech^{n-2}(x)\ dx} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(7)
  • Addition von $(n-2) \cdot \int{\sech^n(x)\ dx}$ auf beiden Seiten der Gleichung
(8)
(9)
  • Division beider Seiten durch $(n-1)$

Die gesuchte Rekursionsformel für $n \gt 1$ lautet damit:

\[ \int{\sech^n(x)\ dx} = \frac{1}{n-1} \cdot \tanh(x) \cdot \sech^{n-2}(x) + \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\sech^{n-2}(x)\ dx} \]

Diese Formel führt das Integral $\int{\sech^n(x)\ dx}$ auf das Integral $\int{\sech^{n-2}(x)\ dx}$ zurück (für $n \gt 1$), dessen Exponent $n-2$ stets kleiner als der ursprüngliche Exponent $n$ ist. Durch wiederholtes Anwenden wird der Exponent schrittweise auf $1$ oder $2$ gebracht. Beide Fälle fungieren als Rekursionsanker bzw. Basisfall, da sie eine bekannte Stammfunktion besitzen – und erlauben somit ein vollständiges Auflösen des Integrals. (Hinweis: Der Exponent $0$ wäre ebenfalls ein möglicher Basisfall. Da jedoch bereits für den Fall $\sech^2$ eine Stammfunktion existiert, wäre dies lediglich zusätzlicher und unnötiger Rechenaufwand.)

\begin{align*} \int{\sech^2(x)\ dx} &= \tanh(x) + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{\sech(x)\ dx} &= \arctan\bigl(\sinh(x)\bigr) + \mathcal{C} \\[0.75em] &= 2\arctan\bigl(e^x\bigr) + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{\sech^0(x)\ dx} &= \int{1\ dx} = x + \mathcal{C} \end{align*}

Herleitung der Integrationsregel von sechn(x) für n < -1

Für negative ganzzahlige Exponenten $n \lt -1$ können Potenzen der Sekans-hyperbolicus-Funktion nicht direkt integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Stattdessen kann eine Rekursionsformel hergeleitet werden, die das Integral $\int{\sech^n(x)\ dx}$ auf ein einfacheres Integral zurückführt. Sie ergibt sich direkt durch algebraisches Umformen der bereits bekannten Formel für $n \gt 1$. Es gilt:

\begin{align*} \int{\sech^n(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \frac{1}{n-1} \cdot \tanh(x) \cdot \sech^{n-2}(x) + \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\sech^{n-2}(x)\ dx} \\[1.5em] \implies \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\sech^{n-2}(x)\ dx} &\overset{(2)}{=} -\frac{1}{n-1} \cdot \tanh(x) \cdot \sech^{n-2}(x) + \int{\sech^n(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\sech^{n-2}(x)\ dx} &\overset{(3)}{=} -\frac{1}{n-2} \cdot \tanh(x) \cdot \sech^{n-2}(x) + \frac{n-1}{n-2} \cdot \int{\sech^n(x)\ dx} \\[1.5em] \implies \int{\sech^{m}(x)\ dx} &\overset{(4)}{=} -\frac{1}{m} \cdot \tanh(x) \cdot \sech^m(x) + \frac{m+1}{m} \cdot \int{\sech^{m+2}(x)\ dx} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Rekursionsformel für den Fall $n \gt 1$
(2)
  • Umstellen nach $\frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\sech^{n-2}(x)\ dx}$
(3)
  • Multiplikation der Gleichung mit $\frac{n-1}{n-2}$
(4)
  • Substitution von $m = n-2$

Die erhaltene Formel führt das Integral $\int{\sech^m(x)\ dx}$ auf das Integral $\int{\sech^{m+2}(x)\ dx}$ zurück (für $m \lt -1$), dessen Exponent $m+2$ betragsmäßig stets kleiner als der ursprüngliche Exponent $m$ ist. Durch wiederholtes Anwenden wird der Exponent schrittweise auf $-1$ oder $0$ gebracht. Beide Fälle fungieren als Rekursionsanker bzw. Basisfall, da sie eine bekannte Stammfunktion besitzen – und erlauben somit ein vollständiges Auflösen des Integrals:

\begin{align*} \int{\sech^{-1}(x)\ dx} &= \sinh(x) + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{\sech^0(x)\ dx} &= \int{1\ dx} = x + \mathcal{C} \end{align*}