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Integrationsregel für Sekans hyperbolicus
Inhalt
Herleitung der Stammfunktion von $\sech(x)$
TODOHerleitung der Stammfunktion von $\sech^{-1}(x)$
TODOHerleitung der Stammfunktion von $\sech^n(x)$
Die Stammfunktion für $\sech^n(x)$ (mit $n > 1$) wird mithilfe von partieller Integration hergeleitet:
\begin{align*} \int{\sech^n(x)\ dx} &= \int{\sech^2(x) \cdot \sech^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &= \tanh(x) \cdot \sech^{n-2}(x) - \int{\tanh(x) \cdot (n-2) \cdot \sech^{n-3}(x) \cdot (-1) \cdot \sech(x) \cdot \tanh(x)\ dx} \\[0.75em] &= \tanh(x) \cdot \sech^{n-2}(x) + (n-2) \cdot \int{\tanh^2(x) \cdot \sech^{n-2}(x)\ dx}. \end{align*}
Aufgrund der Identitäten $\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$, $\sech(x) = \frac{1}{\cosh(x)}$ und $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ gilt die folgende Gleichheit:
\[ \tanh^2(x) = {\left( \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \right)}^2 = \sinh^2(x) \cdot \sech^2(x) = \left( \cosh^2(x) - 1 \right) \cdot \csch^2(x) = \cosh^2(x) \cdot \sech^2(x) - \sech^2(x) = 1 - \sech^2(x) \]
Einsetzen in das umgeformte Integral und Aufteilen auf zwei Integrale ergibt:
\begin{align*} \int{\sech^n(x)\ dx} &= \tanh(x) \cdot \sech^{n-2}(x) + (n-2) \cdot \int{{\left( 1 - \sech^2(x) \right)} \cdot \sech^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &= \tanh(x) \cdot \sech^{n-2}(x) + (n-2) \cdot \left( \int{\sech^{n-2}(x)\ dx} - \int{\sech^2(x) \cdot \sech^{n-2}(x)\ dx} \right) \\[0.75em] &= \tanh(x) \cdot \sech^{n-2}(x) + (n-2) \cdot \int{\sech^{n-2}(x)\ dx} - (n-2) \cdot \int{\sech^n(x)\ dx}. \end{align*}
Anschließend wird nach $\int{\sech^n(x)\ dx}$ umgestellt:
\begin{align*} \bigl(1 + (n-2)\bigr) \cdot \int{\sech^n(x)\ dx} &= \tanh(x) \cdot \sech^{n-2}(x) + (n-2) \cdot \int{\sech^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] \bigl(n - 1\bigr) \cdot \int{\sech^n(x)\ dx} &= \tanh(x) \cdot \sech^{n-2}(x) + (n-2) \cdot \int{\sech^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\sech^n(x)\ dx} &= \frac{1}{n-1} \cdot \tanh(x) \cdot \sech^{n-2}(x) + \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\sech^{n-2}(x)\ dx} \end{align*}
Herleitung der Stammfunktion für $\sech^{-n}(x)$
Die Stammfunktion für $\sech^{-n}(x)$ kann durch Umstellen der Formel für $\sech^n(x)$ hergeleitet werden.
\[ \int{\sech^n(x)\ dx} = \frac{1}{n-1} \cdot \tanh(x) \cdot \sech^{n-2}(x) + \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\sech^{n-2}(x)\ dx} \]
Umstellen nach $\int{\sech^{n-2}(x)\ dx}$:
\begin{align*} \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\sech^{n-2}(x)\ dx} &= -\frac{1}{n-1} \cdot \tanh(x) \cdot \sech^{n-2}(x) + \int{\sech^n(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\sech^{n-2}(x)\ dx} &= -\frac{1}{n-2} \cdot \tanh(x) \cdot \sech^{n-2}(x) + \frac{n-1}{n-2} \cdot \int{\sech^n(x)\ dx} \end{align*}
Substitution $m=n-2$:
\[ \int{\sech^m(x)\ dx} = -\frac{1}{m} \cdot \tanh(x) \cdot \sech^{m}(x) + \frac{m+1}{m} \cdot \int{\sech^{m+2}(x)\ dx} \]