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Ableitungsregel für Sekans hyperbolicus
Inhalt
Herleitung
Die Bestimmung der Ableitung von $\sech(x)$ wird ausgehend von der Definition $\sech(x) = \frac{1}{\cosh(x)}$ vorgenommen.
Es gilt:
\begin{align*} {\Bigl[ \sech(x) \Bigr]}' &= {\left[ \frac{1}{\cosh(x)} \right]}' \\[0.75em] &= \frac{{\left[ 1 \right]}' \cdot \cosh(x) - 1 \cdot {\left[ \cosh(x) \right]}'}{\cosh^2(x)} \\[0.75em] &= \frac{0 \cdot \cosh(x) - 1 \cdot \sinh(x)}{\cosh^2(x)} \\[0.75em] &= -\frac{\sinh(x)}{\cosh^2(x)} \end{align*}
Variante 1:
\begin{align*} {\Bigl[ \sech(x) \Bigr]}' &= -\frac{1}{\cosh(x)} \cdot \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \\[0.75em] &= -\sech(x) \cdot \tanh(x) \end{align*}
Variante 2:
\begin{align*} {\Bigl[ \sec(x) \Bigr]}' &= -\frac{\frac{1}{\cosh^2(x)}}{\frac{1}{\sinh(x)}} \\[0.75em] &= -\frac{\sech^2(x)}{\csch(x)} \end{align*}