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Sinus hyperbolicus

Sinus hyperbolicus (abgekürzt: $\sinh$) gehört zu den hyperbolischen Funktionen.

Inhalt

Definition

Die Funktion lässt sich durch die folgende Formel ausdrücken:

\sinh(x) := \frac{1}{2} \cdot \Bigl( e^x - e^{-x} \Bigr)

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Graph der Sinus hyperbolicus Funktion $\sinh(x)$

Definitionsbereich	$-\infty \lt x \lt \infty$
Wertebereich	$-\infty \lt \sinh(x) \lt \infty$
Periodizität	keine
Monotonie	streng monoton steigend
Krümmung	konkav für $x \gt 0$ konvex für $x \gt 0$
Symmetrien	Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ungerade Funktion
Asymptoten	$f(x) \rightarrow -\frac{1}{2} e^{-x}$ für $x \rightarrow -\infty$ $f(x) \rightarrow \frac{1}{2} e^{x}$ für $x \rightarrow \infty$
Nullstellen	$x_0=0$
Sprungstellen	keine
Polstellen	keine
Extrema	keine
Wendepunkte	$x_0=0$

Die Ableitung von Sinus hyperbolicus lautet:

\Bigl[ \sinh(x) \Bigr]' = \frac{d}{dx} \sinh(x) = \cosh(x)

Die Stammfunktion von Sinus hyperbolicus lautet:

\int{\sinh(x)\ dx} = \cosh(x) {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}}

Weitere Stammfunktionen:

\begin{align*} \int{\sinh^n(x)\ dx} &= \frac{1}{n} \cdot \cosh(x) \cdot \sinh^{n-1}(x) - \frac{n-1}{n} \cdot \int{\sinh^{n-2}(x)\ dx} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{\frac{1}{\sinh(x)}\ dx} = \int{\sinh^{-1}(x)\ dx} &= \frac{1}{2} \cdot \ln\left(\cosh(x)-1\right) - \frac{1}{2} \cdot \ln\left(\cosh(x)+1\right) {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{\frac{1}{\sinh^n(x)}\ dx} = \int{\sinh^{-n}(x)\ dx} &= - \frac{\cosh(x)}{(n-1) \cdot \sinh^{n-1}(x)} - \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\frac{1}{\sinh^{n-2}(x)}\ dx} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \end{align*}

Sinus hyperbolicus besitzt die folgende Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt $x_0=0$:

\begin{align*} \sinh(x) &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{(2k+1)!} \cdot x^{2k+1}} \\[0.75em] &= x + \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5 + \frac{1}{7!} x^7 + \ldots \end{align*}