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Integrationsregel für Sinus hyperbolicus

Inhalt

Herleitung der Stammfunktion für $\sinh(x)$

\begin{align*} \int{\sinh(x)\ dx} &= \int{\frac{1}{2} \left( e^x - e^{-x} \right)\ dx} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \int{e^x\ dx} - \frac{1}{2} \cdot \int{e^{-x}\ dx} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot e^x - \frac{1}{2} \cdot \left( -e^{-x} \right) \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( e^x + e^{-x} \right) \\[0.75em] &= \cosh(x) \end{align*}

Zunächst wird die Ausgangsfunktion mit $\sinh(x)$ erweitert und unter Verwendung der Identität $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ umgeformt:

\begin{align*} \int{\frac{1}{\sinh(x)}\ dx} &= \int{\frac{\sinh(x)}{\sinh^2(x)}\ dx} \\[0.75em] &= \int{\frac{\sinh(x)}{\cosh^2(x) - 1}\ dx}. \end{align*}

Anschließend wird mit $t = \cosh(x)$ substituiert. Aus $t = \cosh(x)$ folgt $dt = \sinh(x)\ dx$. Die entstandene rationale Funktion wird integriert:

\begin{align*} \int{\frac{\sinh(x)}{\cosh^2(x) - 1}\ dx} &= \int{\frac{1}{t^2 - 1}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \ln{|t-1|} - \frac{1}{2} \ln{|t+1|}. \end{align*}

Abschließende Resubstitution liefert das gewünschte Ergebnis:

\begin{align*} \int{\frac{1}{\sinh(x)}\ dx} &= \frac{1}{2} \ln{|\cosh(x)-1|} - \frac{1}{2} \ln{|\cosh(x)+1|} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \ln\left(\cosh(x)-1\right) - \frac{1}{2} \ln\left(\cosh(x)+1\right) \end{align*}

Die Stammfunktion für $\sinh^n(x)$ (mit $n > 1$) wird mithilfe von partieller Integration hergeleitet:

\begin{align*} \int{\sinh^n(x)\ dx} &= \int{\sinh(x) \cdot \sinh^{n-1}(x)\ dx} \\[0.75em] &= \cosh(x) \cdot \sinh^{n-1}(x) - \int{\cosh(x) \cdot (n-1) \cdot \sinh^{n-2}(x) \cdot \cosh(x)\ dx} \\[0.75em] &= \cosh(x) \cdot \sinh^{n-1}(x) - (n-1) \cdot \int{\cosh^2(x) \cdot \sinh^{n-2}(x)\ dx}. \end{align*}

Unter Verwendung der Identität $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ folgt:

\begin{align*} \int{\sinh^n(x)\ dx} &= \cosh(x) \cdot \sinh^{n-1}(x) - (n-1) \cdot \int{{\left( 1 + \sinh^2(x) \right)} \cdot \sinh^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &= \cosh(x) \cdot \sinh^{n-1}(x) - (n-1) \cdot \left( \int{\sinh^{n-2}(x)\ dx} + \int{\sinh^2(x) \cdot \sinh^{n-2}(x)\ dx} \right) \\[0.75em] &= \cosh(x) \cdot \sinh^{n-1}(x) - (n-1) \cdot \int{\sinh^{n-2}(x)\ dx} - (n-1) \cdot \int{\sinh^n(x)\ dx}. \end{align*}

Anschließend wird nach $\int{\sinh^n(x)\ dx}$ umgestellt:

\begin{align*} \bigl(1 + (n-1)\bigr) \cdot \int{\sinh^n(x)\ dx} &= \cosh(x) \cdot \sinh^{n-1}(x) - (n-1) \cdot \int{\sinh^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] n \cdot \int{\sinh^n(x)\ dx} &= \cosh(x) \cdot \sinh^{n-1}(x) - (n-1) \cdot \int{\sinh^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\sinh^n(x)\ dx} &= \frac{1}{n} \cdot \cosh(x) \cdot \sinh^{n-1}(x) - \frac{n-1}{n} \cdot \int{\sinh^{n-2}(x)\ dx} \end{align*}

Die Stammfunktion für $\sinh^n(x)$ (mit $n < -1$) kann durch Umstellen der Formel für $n > 1$ hergeleitet werden.

\int{\sinh^n(x)\ dx} = \frac{1}{n} \cdot \cosh(x) \cdot \sinh^{n-1}(x) - \frac{n-1}{n} \cdot \int{\sinh^{n-2}(x)\ dx}

Umstellen nach $\int{\sinh^{n-2}(x)\ dx}$:

\begin{align*} \frac{n-1}{n} \cdot \int{\sinh^{n-2}(x)\ dx} &= \frac{1}{n} \cdot \cosh(x) \cdot \sinh^{n-1}(x) - \int{\sinh^n(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\sinh^{n-2}(x)\ dx} &= \frac{1}{n-1} \cdot \cosh(x) \cdot \sinh^{n-1}(x) - \frac{n}{n-1} \int{\sinh^n(x)\ dx} \end{align*}

Substitution $m=n-2$:

\int{\sinh^{m}(x)\ dx} = \frac{1}{m+1} \cdot \cosh(x) \cdot \sinh^{m+1}(x) - \frac{m+2}{m+1} \int{\sinh^{m+2}(x)\ dx}