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Integrationsregel für Tangens hyperbolicus
Herleitung der Stammfunktion von $\tanh(x)$
Unter Zuhilfenahme der Definition des Tangens hyperbolicus kann $\displaystyle\int{\tanh(x)\ dx}$ wie folgt umgeschrieben werden:
\[ \int{\tanh(x)\ dx} = \int{\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}\ dx}. \]
Anschließend wird mit $t = \cosh(x)$ substituiert. Aus $t = \cosh(x)$ folgt $dt = \sinh(x)\ dt$.
\begin{align*} \int{\tanh(x)\ dx} &= \int{\frac{1}{t}\ dt} \\[0.75em] &= \ln \bigl| t \bigr| \end{align*}
Die abschließende Resubstitution liefert das gesuchte Ergebnis:
\begin{align*} &= \int{\tanh(x)\ dx} = \ln \Bigl| \cosh(x) \Bigr| \\[0.75em] &= \int{\tanh(x)\ dx} = \ln \Bigl( \cosh(x) \Bigr) \end{align*}
Herleitung der Stammfunktion von $\tanh^{-1}(x) = \frac{1}{\tanh(x)}$
Unter Zuhilfenahme der Definition des Tangens hyperbolicus kann $\displaystyle\int{\frac{1}{\tanh(x)}\ dx}$ wie folgt umgeschrieben werden:
\begin{align*} \int{\frac{1}{\tanh(x)}\ dx} &= \int{\frac{1}{\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}}\ dx} \\[0.75em] &= \int{\frac{\cosh{x}}{\sinh{x}} \ dx} \end{align*}
Anschließend wird mit $t = \sinh(x)$ substituiert. Aus $t = \sinh(x)$ folgt $dt = \cosh(x)\ dt$.
\begin{align*} \int{\frac{1}{\tanh(x)}\ dx} &= \int{\frac{1}{t}\ dt} \\[0.75em] &= \ln |t| \end{align*}
Die abschließende Resubstitution liefert das gesuchte Ergebnis:
\[ \int{\frac{1}{\tanh(x)}\ dx} = \ln \Bigl| \sinh(x) \Bigr| \]
Herleitung der Stammfunktion von $\tanh^n(x)$
Zum Bestimmen einer Rekursionsformel für $\displaystyle\int{\tanh^n(x)\ dx}$ wird dieses zunächst umgeschrieben. Es gilt:
\[ \int{\tanh^n(x)\ dx} = \int{\tanh^2(x) \cdot \tanh^{n-2}(x) \ dx}. \]
Aufgrund der Definition $\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$ und der Identität $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ gilt die folgende Gleichheit:
\[ \tanh^2(x) = {\left( \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \right)}^2 = \frac{\sinh^2(x)}{\cosh^2(x)} = \frac{\cosh^2(x) - 1}{\cosh^2(x)} = 1 - \frac{1}{\cosh^2(x)} \]
Einsetzen in das umgeformte Integral und Aufteilen auf zwei Integrale ergibt:
\begin{align*} \int{\tanh^n(x)\ dx} &= \int{\left( 1 - \frac{1}{\cosh^2(x)} \right) \cdot \tanh^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &= \int{\tanh^{n-2}(x)\ dx} - \int{\frac{\tanh^{n-2}(x)}{\cosh^2(x)}\ dx}. \end{align*}
Nun wird im zweiten Integral auf der rechten Seite mit $t = \tanh(x)$ substituiert. Aus $t = \tanh(x)$ folgt $dx = \cosh^2(x)\ dt$.
\begin{align*} \int{\tanh^n(x)\ dx} &= \int{\tanh^{n-2}(x)\ dx} - \int{\frac{t^{n-2}}{{\color{fuchsia} \cosh^2(x)}} \cdot {\color{fuchsia} \cosh^2(x)}\ dt} \\[0.75em] &= \int{\tanh^{n-2}(x)\ dx} - \int{t^{n-2}\ dt} \\[0.75em] &= -\frac{1}{n-1} \cdot t^{n-1} + \int{\tanh^{n-2}(x)\ dx}. \end{align*}
Die abschließende Resubstitution liefert die gesuchte Rekursionsformel:
\[ \int{\tanh^n(x)\ dx} = -\frac{1}{n-1} \cdot \tanh^{n-1}(x) + \int{\tanh^{n-2}(x)\ dx}. \]
Herleitung der Stammfunktion von $\tanh^{-n}(x)$
Die Stammfunktion für $\tanh^{-n}(x)$ kann durch Umstellen der Formel für $n > 1$ hergeleitet werden.
\[ \int{\tanh^n(x)\ dx} = -\frac{1}{n-1} \cdot \tanh^{n-1}(x) + \int{\tanh^{n-2}(x)\ dx} \]
Umstellen nach $\int{\tanh^{n-2}(x)\ dx}$:
\[ \int{\tanh^{n-2}(x)\ dx} = \frac{1}{n-1} \cdot \tanh^{n-1}(x) + \int{\tanh^n(x)\ dx} \]
Substitution $m=n-2$:
\[ \int{\tanh^{m}(x)\ dx} = \frac{1}{m+1} \cdot \tanh^{m+1}(x) + \int{\tanh^{m+2}(x)\ dx} \]
