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Umkehrregel

Die Umkehrregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung, die beschreibt, wie die Berechnung der Ableitung der Umkehrfunktion einer Funktion auf die Berechnung der Ableitung der Funktion selbst zurückgeführt werden kann.

Inhalt

Definition

Gegeben sei ein Intervall $D$ sowie eine auf diesem Intervall definierte, umkehrbare (d.h. bijektive) Funktion $f$ mit den folgenden Eigenschaften:

  • die Funktion $f$ ist an der Stelle $x_0$ stetig und differenzierbar;
  • die Funktion $f$ besitzt an der Stelle $x_0$ keine waagerechte Tangente, d.h., es gilt $f'(x_0) \neq 0$.

Unter diesen Voraussetzungen ist die Umkehrfunktion $f^{-1}$ an der Stelle $y = f(x)$ differenzierbar und es gilt

\[ \bigl( f^{-1} \bigr)'(y) = \frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(y)\bigr)} = \frac{1}{f'(x)} \]

Beispiele

Beweis der Umkehrregel

Die Umkehrregel kann direkt mithilfe des Grenzwerts des Differenzenquotienten hergeleitet werden. $f(x_0)=y_0$; $f^{-1}(y_0)=x_0$

\begin{align*} \bigl(f^{-1}\bigr)'(y_0) &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{f^{-1}(y_0+h) - f^{-1}(y_0)}{h} \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{f^{-1}(y_0+h) - f^{-1}(y_0)}{(y_0+h)-y_0} \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{1}{\frac{(y_0+h)-y_0}{f^{-1}(y_0+h) - f^{-1}(y_0)}} \right)} \\[0.75em] &= \frac{1}{\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{(y_0+h)-y_0}{f^{-1}(y_0+h) - f^{-1}(y_0)} \right)}} \\[0.75em] &= \frac{1}{\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{f(f^{-1}(y_0+h))-f(f^{-1}(y_0))}{f^{-1}(y_0+h) - f^{-1}(y_0)} \right)}} \\[0.75em] &\overset{(\star)}{=} \frac{1}{\lim\limits_{t \rightarrow 0}{\left( \frac{f(f^{-1}(y_0)+t)-f(f^{-1}(y_0))}{t} \right)}} \\[0.75em] &= \frac{1}{\lim\limits_{t \rightarrow 0}{\left( \frac{f(x_0+t)-f(x_0)}{t} \right)}} \\[0.75em] &= \frac{1}{f'(x_0)} \end{align*}

An der Stelle $(\star)$ wurde mit $t=f^{-1}(y_0+h) - f^{-1}(y_0)$ substituiert; hieraus folgt $f^{-1}(y_0+h) = f^{-1}(y_0) + t$. Aufgrund der Stetigkeit von $f^{-1}(y)$ an der Stelle $y_0$ gilt $\lim\limits_{h \rightarrow 0}{(f^{-1}(y_0+h) - f^{-1}(y_0))} = 0$, woraus $t \rightarrow 0$ folgt.